怎麼理解代數幾何概念 motive？

01-01

如題，motive（又作 motif，pure or mixed）是現在代數幾何中一個比較hot的topic，但是我始終不太理解他的意思，求解釋

既然已經有這個答案在前面了，我就補充點中學生能聽懂的信息吧（至少下文有一段是這樣）。僅僅是一個今天想到的解釋，其實信息量不大，但是說出來可能還是對某些人有點幫助的。只是想把一些比較晦澀的話展開講一講，想知道更多還是得看書，知乎不適合討論太高深的東西。

Motive 這個概念，經常會聽到「代數簇的影子」「universal cohomology」這類的說法，簡單講就是對於代數簇，我們可以定義很多 cohomology, 比如 étale cohomology, crystalline cohomology, de Rham cohomology, 這些上同調都有類似的美好性質，正如另一個答案提到的

所謂 Motive, 就是這一切美好的上同調公共的根源.
用中文, 就是每個[好上同調函子都 factor through the motivator].

說白了就是，這些美好的性質讓人有一個類似於柏拉圖洞穴比喻的想法，會不會這些性質都來自於同一個東西，是同一個抽象的東西在不同層面的實現。那個東西就是所謂的 Motive.

講個故事吧。如果剛剛發展數的概念的幾個原始部落接觸，可能會發現對方用的數字表示方式並不是十進位——比如瑪雅人的二十進位、十八進位，也不難想像有的部落用的是五進位二進位或者八進位十六進位，還有的部落是一進位（結繩記事）。操作這些數字的方法也不一樣：做加法的時候二進位是逢二進一，八進位是逢八進一，做減法的時候借位的方式也不一樣，做乘法的時候十進位的人用九九表，二進位的人用一一表，十六進位的人用 FF 表…… 但是大家迅速發現，儘管有這麼多不同，有很多美好的性質是一致的，比如加法和乘法都滿足交換律結合律，乘法對加法有分配律，都能做數學歸納法……

於是大家開始想像「抽象的自然數」的這個概念，比如如果一個數 $n$ 在十進位下表示為 100, 實際上它既是 0b1100100 （二進位）, 也是 0x64（十六進位），還是 $202_7$ ，這些具體的表示方法只是在不同進位制下的實現而已，背後對應的數都是同一個。抽象的「數」更有利於理解背後的內蘊的概念。說句題外話，日常生活中其實沒理解抽象的數的概念的人並不少，某些數字神秘主義也很依賴於十進位，可以說是沒理解抽象的數的概念的典型。

如果把抽象的自然數的集合記做 $mathbb{N}$ 的話，則上述的「實現」是一系列映射，比如二進位實現把 $mathbb{N}$ 映射到 0, 1 組成的有限長度的列表這個集合的一個子集，十進位實現把 $mathbb{N}$ 映射到 0-9 組成的有限長度的列表這個集合的一個子集…… 稍微折騰一下也有「比較定理」，告訴你怎麼把二進位轉換成十進位，或者把十進位轉換成二進位。這些比較定理是很自然的，因為他們只不過是同一個東西的不同表示方式而已。

如果你寫過程序的話，可以說上帝寫下了頭文件 number.h, 定義了抽象的自然數，以及抽象的加法、乘法（比如皮亞諾公理定義的那些），具體的 implementation (number_impl.c) 交給各個部落去寫，不同部落寫出來的實現方式並不一樣，但是都滿足頭文件里需要的那些性質。

回到代數幾何，Weil 提出了把代數拓撲的方法用在代數幾何上的想法，然後人們去實現，找到了 de Rham cohomology, étale cohomology, crystalline cohomology 等工具（對於 $mathbb{C}$ 上的代數流形，還有原來已經知道的 singular cohomology），這些工具都滿足非常類似的美好的性質，也能證明一些比較定理，所以才有這些性質都來自 motive 的想法。Motive 上的東西，或者說更加接近幾何實質的東西，有個專門的形容詞, motivic. Motivic 的東西，對任意 cohomology 的實現都應該對，不依賴於 cohomology 的特殊性。回到自然數的例子，小學奧數裡面有很多 non-motivic 的比較醜陋的東西，比如「一個自然數能被 9 整除當前僅當它的十進位表示的各位數字之和能被 9 整除」——這個顯然非常依賴於十進位的特殊性，和抽象的自然數沒什麼關係。但是前面提到的「加法和乘法都滿足交換律結合律，乘法對加法有分配律，都能做數學歸納法」顯然是 motivic 的。

多說幾句，其實 motive/motif 這個單詞，字面上看就是「主題」的意思，解釋到這份上也不難理解詞源了。其實對很多數學現象，都可以問背後的深層次原因是什麼，說白了每個數學現象都應該有個 motive 才是。但是像自然數這類概念，不管是十進位的表示還是二進位的表示，他們和抽象的自然數之間，已經存在一一對應，也就是說理解了十進位的表示唯一地代表背後的抽象的自然數這件事情以後，並不需要專門定義抽象的自然數（但是很遺憾，能理解到這個層面的人並不多，看看用數字算命的人群就懂了）。代數拓撲里有各種係數的上同調，按說背後也有個 motive，但這個情形也很簡單，因為任意係數的上同調都可以用 $mathbb{Z}$ -係數上同調算出來，所以也不用提 motive 了。甚至可以說數學史上很多概念的演化都跟找「背後的那個東西」有關，比如從代數函數的黎曼面到抽象的黎曼面也就是一維複流形等，但是再說就有點跑題了，打住。