關於gromov-hausdorff度量的一個栗子。？

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怎麼計算Sn和Tn之間的gromov-hausdorff度量吖，或者有沒有很好的估計？當然我們這裡假定兩者都是單位長度的，因為這個問題在scaling以後就沒有意義了。我只知道n等於1的時候是0，因為兩者都是S1。。。另外就是我能給出n的情況下一個很弱的估計C sqrt（n) C和n無關的一個常數，可以取2。而且我猜想主項的級別就是sqrt(n)，但是我不知道怎麼求最佳常數。。。

謝邀。

終於看到一個和我目前閱讀的數學文獻同領域的問題了。。可惜我不會＝＝。。問GH distance永遠要說清楚度量；S^n上我默認是標準球面度量了，T^n上有好多好多度量，即使你假設是平坦度量，那也不止一個（因為邊長和角度都可以變），那麼最自然的應該是若干個單位圓的乘積度量了。

這樣的T^n可以嵌入R^{2n}里，然後S^n可以嵌入到R^{n+1}（作為R^{2n}的一個子空間）里；粗略想想，我怎麼覺得上界可以是1了。。因為這兩個東西都包含在S^{2n-1}裡面啊。。或者保險一點，2？不好意思這段論證是錯誤的，因為這樣的嵌入並不是度量空間之間的等距映射，我想簡單了。

當然GH distance難的是估計下界。這個我不知道怎麼估，因為原則上要考慮所有可能的嵌入。

最後說一句，計算GH distance其實不是那麼簡單的事情；大家可以想想，單點集到一個三角形的三個頂點之間的GH distance應該是多少？哪怕有限集都不好算的，因為你要考慮所有可能的嵌入。

（已更新, 之前做錯了）

我也暫時做不出最優. 不過常數大概至少可以到 $C=1.$ 以下假定經緯圓的周長均為2.

大致來講考慮覆蓋兩個度量空間的 $epsilon-$ 網, 比如對於 $S^n$ 考慮南北極, 可以構成 $1/2-$ 網.對於 $T^n$ 則考慮全體 $k-$ 維面（ $0 leq k leq n$ ）的重心作為格點, 則可以構成 $sqrt{n}/4-$ 網. 那麼這裡我們就可以取 $epsilon = sqrt{n}/4$ , 於是根據對Gromov-Hausdorff度量的標準估計, 就有

$d_{GH}(S^n, T^n) leq 2epsilon + sqrt{n} = 3sqrt{n}/2.$

那麼進一步, 由於 $S^n$ 總能給出 $1/2-$ 網, 我們可以考慮加細 $T^n$ 上的等分點, 比如把只取全體中點改進到取全體 $N > sqrt{n}$ 等分點, 那麼這時就有 $T^n$ 的 $epsilon-$ 網, 其中 $epsilon = sqrt{n}/2N < 1/2$ . 這樣根據同樣的估計方法可以給出

$d_{GH}(S^n, T^n) leq 1 + sqrt{n}.$