什麼是Finsler Geometry? 它與Riemann幾何有什麼關係？

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問題如上

從某種角度上來說，這兩者的關係有點兒像Hilbert空間和Banach空間的關係。

Finsler Geometry是Riemann Geometry的自然推廣。它推廣的是Riemann Geometry定義曲線長度，也就是定義距離的方式。我們知道，曲線長度的定義方式是曲線的切向量的『範數』的積分。當這個『範數』是最簡單的情況，也就是『內積』的時候，它就是Riemann Geometry，而當它是一般的範數的時候，它就是Finsler Geometry。

從這個角度來說，所有Riemann Geometry下面的概念，比如測地線，曲率，等等等等，都可以對Finsler Geometry對應的定義出來，而所有Riemann Geometry下你可以問的問題，比如閉測地線的條數，常曲率空間的刻畫，等等等等，也都可以對Finsler Geometry來問。

但是具體處理這些概念和問題的時候，Finsler Geometry要比Riemann Geometry繁雜得多。除了範數本身定義方式變得難於處理之外，它還導致Finsler度量的indicatrix不再具有對稱性，這也就使得Finsler Geometry下的幾何量基本上都會和『方向』有關。這將導致一些和Riemann Geometry下完全不一樣的情況，比如A到B的測地線不再一定是B到A的測地線。再比如我們都熟知的一個結論是說Riemann Geometry下球面上有無窮多條閉測地線，但是在Finsler Geometry下，存在只有兩條閉測地線的球面。

從這個角度，我記得龍老師曾經說過，如果把Riemann Geometry比喻做現實地球上的情況，有高山峽谷凹坑，使得最短距離不再是直線，那麼Finsler Geometry就相當於一個刮著猛烈颶風的地球，在這上面，順風和逆風或者側著風都會有很大的不一樣。

非常簡短地說，Finsler幾何是把切空間上的內積換成了一般的範數，每個切空間不再是一個內積空間，而僅僅是一個賦范線性空間。Finsler度量由indicatrix（也就是切空間的單位球）完全決定。

Finsler geometry的度量沒有二次型限制，但是要滿足正一階齊次性以保證曲線弧長與參數選取無關，特別地若度量為Riemann度量加上一個1-form，這被稱作是Randers metrics. 更廣泛地若tangent bundle上metric function的齊次性是m階的，這被稱為Lagrange geometry。