請問數學大牛參數方程真能形成曲線？

12-31

很多教材上都這麼寫道：「 f(x) g(x)是兩個在區間[a, b]上連續的實函數。在XOY平面上，參數方程 x = f(t), y=g(t), t屬於[a, b]. 當t 遍歷[a ,b]時，點(x, y)在XOY平面內的軌跡形成一條連續曲線。」
請問，為什麼這個軌跡是一條曲線呢？如何證明他是一條曲線？為什麼他不會是一坨東西，比如是一個面？我感覺有點像Jordan曲線定理一樣，直官上明顯，但證明起來複雜。

謝邀。事實上，按照定義，問題描述裡面的就是曲線的定義。曲線是映射，曲線是映射，曲線是映射。如果你隨便拿張紙紙上畫著一條東西，這個在數學上並不是曲線。這樣的定義有好處，就是可以方便地對曲線做各種各樣的操作，特別是微積分。但是如題主所言，一個映射，或者說一條曲線看起來未必真的像一條曲線。這裡與Jordan曲線定理無關，證明也沒什麼有難度的地方。主要是要理解一些例子，比如下面兩個：

Peano曲線和Hilbert曲線。這兩個例子精神上是差不多的，構造方法都是利用一致收斂的連續映射序列的極限也是連續的。這兩種曲線都滿足曲線的定義，但是這些映射的像畫出來是一個完整的正方形。至少這個例子告訴我們，用曲線的像而不是方程來描述曲線並不可取。具體構造細節可以看維基百科，我記得陳紀修的數學分析裡面也有。

（圖片來自wiki:Peano curve）
我們來看一條圓環面上的曲線。把平面上 $(x,y)$ 與 $(x+m,y+n)$ （m,n為整數）視為同一個點，這樣得到的新的空間是一個圓環面。然後考慮直線y=kx。如果k是有理數，那麼這條曲線其實一條纏在圓環面上首尾相接的曲線。但如果k是無理數，那麼這條曲線就沒有周期，並且在整個圓環上稠密。這條曲線的像看起來就好像充滿了整個圓環面似的。當然這裡曲線的定義域是整個實數，如果是有限閉區間的話，就不會出現這種情況。

（圖片來自陳省身陳維桓《微分幾何講義》）

專業一點說，如果對曲線稍微有一點要求的話，這其實是個子流形嵌入的問題，我們可以考慮一個單浸入子流形什麼時候是嵌入子流形(embedded submanifold)或者正則子流形(regular submanifold)，也就是說嵌入映射什麼時候是本身的拓撲和限制拓撲的同胚，翻譯過來就是曲線的像是不是跟一條線似的。(這個討論的是上面的2什麼時候會發生。)隨便什麼微分幾何書應該都會講到吧，比如陳省身陳維桓的第一章。以上。

曲線不一定非得看上去像一根「線」，也可以是一坨，比如皮亞諾曲線之類的。

點沒有自由度，所以沒有參數。

曲線有一個自由度，就是參數t。

曲面有兩個自由度，至少有兩個獨立參數，僅有一個t是不行的。

請問數學大牛 參數方程真能形成曲線？

請問數學大牛參數方程真能形成曲線？