一系列正態分布的最大值，max(X1,...,Xn)，是什麼分布？

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如果X之間是independent，CDF應該是原來的開n次方。但是如果X之間有correlation，我們有什麼結論呢？再進一步，如果X的variance不等，還有correlation，我們有什麼結論呢？

對於二元的情況，有非常簡潔的解析式，設 $X_1,X_2$ 分別服從 $N(mu_1,sigma_1^2),N(mu_2,sigma_2^2)$ 和它們的相關係數為 $ho$ ，則 $X=max(X_1,X_2)$ 的pdf為：

公式出自：Exact Distribution of the Max/Min of Two Gaussian

Random Variables (Saralees Nadarajah and Samuel Kotz， 2008，https://www.gwern.net/docs/conscientiousness/2008-nadarajah.pdf，資料來源網路，侵刪）

對於多元的情況，我猜測是沒有很簡潔的表達式的，但這篇文章最後提到

如果 $max(X_1,X_2)$ 和 $X_3$ 獨立的話，我們可以一直遞推下去；如果它們不是獨立的話，那麼也可以寫成類似的表達式的。（見下圖）

但由於文章並沒有給出式子的來源和證明方法，而且給出的四篇相關文獻（8-11）里我只能找到的兩篇也沒有我想要的結果。題主如果想了解，可以看看它並根據它的思路尋找答案。

另一方面，如果我們只是想知道它的bound的話，也許有不錯的結果，例如這篇文章

Bounding the Maximum of Dependent Random Variables（J.A. Hartigan，2011， http://arxiv.org/pdf/1312.1207.pdf）。我最初的想法是，沒有解析式（只給出分布和相關係數矩陣的話），但是我們可以估計 $P(Xleq x)$ 的bound（ $X=max(X_1,X_2,...,X_n)$ )，例如最樸素的想法，用copula的bound，即知我們有

$max(nx+1-n,0) leq P(Xleq x)leq x$

這個下界也是Hartigan文章里tail probability的上界（變換一下就好了）。

最後，如果不是求準確表達式的話，這裡有一篇關於相關的正態變數最大值尾部分布的估計的文章（Tail Distribution of the Maximum of Correlated Gaussian Random Variables，Zdravko Boteva，Michel Mandjesb，Ad Ridderc http://papers.tinbergen.nl/15132.pdf）

如果X是i.i.d，max(X)的分布就是一個ordered statistics，

直接把normal的pdf和cdf套進去上面的公式就好了。具體的推導過程，google ordered statistics就行了。你這個是求max值，相應的還有有min和k-th的分布的。

這個截圖的來源是http://www4.stat.ncsu.edu/~hzhang/st522/08Chapter5_order.pdf

如果X只是independent，但是不是identical的話，就是用 Bapat-Beg theorem。

Bapata€「Beg theorem

如果X是有correlation的，這個我也不是很清楚，不過我可以幫你問問:)

https://stsda.kaust.edu.sa/Documents/2008.AG.SPL.pdf

On the exact distribution of the maximum of absolutely
continuous dependent random variables

這個文章討論了exchangeable random vector with a multivariate normal distribution的情形。

上結論：

這個的數值需要算多元分布的cdf，文章提到有個R的包叫mvtnorm 可以用。

2維情況下這個分布叫Skew normal。任意多元正態的情況就不知道了。

樓主問的是order statistics嗎？

從同種分布中抽出的樣本，樣本之間為什麼會有相關性？

而且套順序統計量公式好像也不是cdf開方吧？

這不就是順序統計量嗎。。。

令式中的k=n即得到最大值的pdf了，題主自己吧正態分布的代進去算算就出來了

想了解更多請參考數理統計的教材

圖片來自《數理統計學導論（第五版影印版）》Robert V. Hogg

如果不同X是independent，那就是extreme value distribution

在independent的情況下分布可以用order statistics的性質求出來。當n很大的時候統計問題關注的是max(X1...,Xn)的期望有多大(如果Xi的期望是0，方差是1，那麼n個正態分布隨機變數的最大值期望近似於sqrt(2 log n))，以及tail probability衰減得有多快