為什麼圓上某點切線方程可以如此和諧統一？

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直接兩個未知量就是圓的方程，
代入某個切點，留下兩個未知量，就是切線的直線方程。
切點全部代入，沒有未知量，代表的是一個點。

這從圓，再到圓上某點的切線，再到該點切換。
三個方程有種和諧的美感，我覺得非常奇妙。我會推導。但感覺推導的過程並沒有很特殊。可是方程之間的和諧統一讓我非常著迷。想知道其中有沒有有趣的東西。

首先，要清楚的是切線/切面都是線性空間，因此方程為線性方程。

對於任意光滑曲面 $f(x)=0$ ，在 $x_0$ 處的線性化方程為 $Df_{x_0}(x-x_0)=0$ ，這裡的 $Df_{x_0}$ 為 $f$ 在 $x_0$ 處的導數，實際上是一個Jacobian矩陣

$egin{bmatrix}partial f/partial x_1partial f/partial x_2cdotspartial f/partial x_nend{bmatrix}$

為什麼會是這樣呢？當 $f(x)$ 是標量函數時，其梯度為

$abla f=egin{bmatrix}partial f/partial x_1partial f/partial x_2cdotspartial f/partial x_nend{bmatrix}^T$

梯度其實就是法向量，它與 $x_0$ 處的切平面上的每個矢量 $x-x_0$ 垂直，即 $abla f_{x_0}cdot (x-x_0)=0$ 。

以圓為例， $f(x,y)=x^2+y^2-R^2=0$ ，其Jacobian矩陣為

$Df_{x_0} = left.egin{bmatrix}partial f/partial xpartial f/partial yend{bmatrix} ight|_{x_0}=egin{bmatrix}2x_0 2y_0end{bmatrix}$

所以在 $x_0$ 處的線性化方程為

$egin{bmatrix}2x_02y_0end{bmatrix}egin{bmatrix}x-x_0\y-y_0end{bmatrix}=2x_0x+2y_0y-2x_0^2-2y_0^2=2x_0x+2y_0y-2R^2=0$

所以

切面方程為 $x_0x+y_0y=R^2$

謝邀。

這很簡單，設原點為 $O$ ，圓上的點為 $A(x_0,y_0)$ ，切線上的點坐標為 $B(x,y)$ 。

那麼顯然 $riangle OAB$ 是直角三角形，且 $angle OAB=Rtangle$ 為直角，所以向量 $stackrel{longrightarrow}{OB}$ 在 $stackrel{longrightarrow}{OA}$ 方向上的投影 $vec{x}$ 就是 $stackrel{longrightarrow}{OA}$ 。然而投影的公式是

$egin{aligned} |stackrel{longrightarrow}{OA}|=|vec{x}|=stackrel{longrightarrow}{OB}cdotfrac{stackrel{longrightarrow}{OA}}{|stackrel{longrightarrow}{OA}|}\ =frac{x_0x+y_0y}{R}\ =R end{aligned}$

所以 $B$ 滿足的方程是 $x_0x+y_0y=R^2$ ，方程形式的關鍵在於內積的形式。

二次曲線 $Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$ 上一點 $P(x_0,y_0)$ 處的切線方程是

$Ax_0x+B(x_0y+y_0x)+Cy_0y+D(x_0+x)+E(y_0+y)+F=0$ .

如果 $P(x_0,y_0)$ 不是二次曲線上一點, 上述方程如果是直線( $x,y$ 項的係數不全為零), 它表示的是 $P$ 的極線.

嗯，比較難過的是，不能推廣到橢圓。記得以前蝴蝶定理被推廣到了橢圓的時候，想想還有點小激動呢