有界二維平面內任意四點形成凸四邊形的概率？

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有邊界二維平面內依次隨機(平均分布)取四個點，順次連接，首尾閉合，求所形成的圖形是凸四邊形的概率。
五邊形呢？六邊形呢？…有無通項式？

四邊形是1/2（凹四邊形的第四個點一定落在另外三個點形成的三角形內部或者三角形三個角的對頂角區域，由於三角形面積和整個無界平面面積之比為零，所以，三角形可以看作一個點，因而......不想寫了，自己畫畫圖領會精神）

問題是錯的，並不能隨機取點，所以上面回答也就錯了

少年你這個大坑挖的...（從11月拖到現在答...懶癌已棄療／手動斜眼）

無界區域的情況就像 @vczh 大神的答案＝＝對夾角 $heta$ 從0到 $pi$ 取積分，概率就是1/4.

但問題問的是有界情況...這就扯著O了_(┐「ε:)_

這個問題和Sylvester"s four-point problem很相似。Sylvester"s four-point problem 求的是在平面（暫且認為它和 $mathbb{R}^2$ 同胚）的任意一凸集 $K$ 獨立隨機均勻取四個點，不考慮連接順序，構成凹四邊形（四個點的閉包是三角形）的概率 $P(K)$ 。從Sylvester 1864年提出到現在，問題也沒有通常意義下的「標準答案」，而是隨 $K$ 的形狀而變化，只有一些特殊形狀（多邊形、圓／橢圓）下的概率。

而且如果不考慮連接順序，這個概率就等於 $1-P(K)$ ,因為二維平面上四個點要麼構成凸四邊形，要麼是凹四邊形。

具體到每種形狀的證法很複雜，我只試著說下大體的思路，可以看參考文獻＝w＝

上面提到了凹四邊形其實是 $v_4inDelta v_1v_2v_3$ 這樣的情況，所以其實可以這樣寫 $P(K)=4P{v_4inDelta v_1v_2v_3|v_iin K, v^4_{i=1}in K}$ ,之所以乘以4是取點的隨機性，也可以寫成 $C^1_4$ （組合數性質）。Thus,（公式編輯器不支持中文0.0）

$P(K)=P( ext{reentrant quadrilateral})\ =4P( ext{one point inside the triangle formed by the other 3})\ =4 ~ ext{mean area of Triangle}/ ext{Area of}~K\ =4M(K)/A(K)$

其中面積 $M(K)$ 就是三點構成三角形平均面積，

$M(K)=1/A^3(K)cdotiint_{Pin K}iint_{Qin K}iint_{Rin K}frac{1}{2}left| egin{array}{ccc}1x_1y_1\1x_2y_2\1x_3y_3end{array} ight| dy_3 dy_2 dy_1 dx_3 dx_2 dx_1$

即對這個三角形面積在每一個坐標上取積分平均。剩下就是根據各種形狀的 $A(K)$ 值分別計算了。還是拿圓舉例子， $A(K)=pi r^2$ , $M(K)=iiint_{(x^2+y^2)^3_{i=1}<r^2}|Delta|Pi^3_{i=1}(dx_idy_i)/(pi r^2)=frac{35r^2}{48pi}$ （這個可以把xy化成極坐標求積，講真無比繁瑣...我是懶得算了，交給matlab君好了）

然後得到 $P(K)=35/(12pi^2)$ ，即構成凸多邊形的概率為 $1-P(K)=1-35/12pi^2$ .

以下是不同形狀平面下的 $1-P(K)$ ，數據來源同參考文獻，我就直接截圖了wwww

從這裡就不難看出，這個問題僅限於可以用分析學方法求出面積的凸集 $K$ ，因為 $M(K)$ 這步積分是不可避免的。當然Matlab（數值方法）能解決任意可以畫出來的形狀面積，代進去就好了www

到這兒主要的解釋就算敘述完了。現在已經可以證明這個任意形狀的概率範圍可以由這些可積區域的情況給出，用公式表述就是

$P(Delta)=frac{2}{3}leq P(K) leq P( ext{Disk})=1-frac{35}{12pi^2}$ .

這個證明....2333我找到所有有關它的文獻都是直接引用結論標註參考文獻，Google了一下原文居然是德語而且發表於1917年，完全找不到任何語言（更別說英文）的版本，就只好放個文章標題了（哭死QAQ）。

Blaschke, W. "über affine Geometrie XI: L?sung des "Vierpunktproblems" von Sylvester aus der Theorie der geometrischen Wahrscheinlichkeiten." Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig Math.-Phys. Kl.69, 436-453, 1917.

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參考文獻： The Historical Development of J. J. Sylvester"s Four Point Problem on JSTOR

The Historical Development of J. J. Sylvester"s Four Point Problem,

Richard E. Pfiefer

Mathematics Magazine

Vol. 62, No. 5 (Dec., 1989), pp. 309-317

以及 Sylvester"s Four-Point Problem -- from Wolfram MathWorld

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總之，Sylvester"s four-point problem 現在還是無解狀態，而且並沒有考慮四個點順此連接的情況（大霧）。它還被收進一本叫 Unsolved Geometry Problem的書（Google books上也有）。

我只拋個磚而且幾乎沒關注什麼人＝＝，所以 @vczh如果有認識幾何學的大神沒準能再解釋下，可能題主也沒想到問題如此複雜吧。P.S. 我也想知道 $P(K)$ 範圍到底是如何確定的，找了我一晚上www

沒事多讀書,不要自己瞎想.

給個比較像答案的答案吧

25%.

有邊界二維平面內依次隨機(平均分布)取四個點，順次連接，首尾閉合，求所形成的圖形是凸四邊形的概率。

如果前三個點確定的話，這個概率應該等於，從四個點的對角開始，無限旁邊的兩條邊之後，(銳角的那一邊的面積 - 那三個點構成的三角形的面積)/總面積。因為四個點是有順序的，隨便取的話其實有相當大的概率會變成一個兩條邊交叉的四邊形，也就不是凸四邊形了。所以說四邊形1/2是不對的。

然後去算積分。

如果是無限二維平面就好算了，因為概率就等於對角銳角的角度/2π，這樣直接從0到180積分，應該是1/4。然而題目是有限的，所以這個概率還取決於這個二維平面到底長什麼樣子。

腦洞：如果這個二維平面也不是凸的，那我真的不知道要怎麼算了（因為連接起來的四邊形有可能覆蓋了一些不在這個二維平面裡面的點）（逃

那麼問題來了，怎麼才能在無邊界二維平面等概率隨機取點？

所以說前提就有問題吧

//既然題主修改了前提，我們可以想一下新的問題

由於新的問題比較複雜，不會做，於是編程模擬了一下概率（3——30邊形）（假設平面為一正方形平面）

（每次隨機n個點的坐標，判斷其是否為凸多邊形，對於每個n邊形隨機1e7次）

好吧這個問題我也不太會做，不過總感覺五邊形和六邊形這兩個結果非常奇怪，求老司機解釋

原諒小的我真的對這種幾何無能為力啊！！！！！

無界的話是1/2，有界的話和邊界形狀有關

任意三點不共線，互相連接後延長，把平面分成6個大區域，其中三個區域內落第四個點為突四邊形，另外三個為凹四邊形，這幾個區域所佔的角度互為對頂角，所以1/2

第四個點在三角形內或邊界上的概率為0