如何利用CP^n上FS度量構造volume comparison在不等式反號下的反例？

首先我們有volume comparison定理：如果n維完備黎曼流形滿足， 那麼我們有 其中 是M上p點為球心、r為半徑的測地球（geodesic ball）. 是常截面曲率空間中的對應的測地球，截面曲率為.

下面要求構造一個反例，即： 時，上述不等式在反號後不一定成立。

然後我們被告知上的Fubini Study metric就是一個反例。

然後有個公式：

其中是沿的法Jacobi fields ,滿足是與測地線垂直的一組標準正交基。在這裡我們把所有的Jacobi fields都平行移動回原點。是v方向的cut point.

以下J.f.代表Jacobi field.

volome comparison之所以會成立, 直觀上是因為大麴率導致J.f.變小. 所以運用上述公式的時候，行列式每一列都變小，那麼行列式的值「應該」是變小的。

但是反過來，小曲率導致J.f.變大，但是行列式的每一列變大，行列式的值是不一定變大的！因為不同列之間的夾角可以變小，從而抵消每一列變大的影響。這也是我們期望volume comparison反號不一定成立的原因。

那麼問題來了：如何定量計算中一個球的體積呢？儘管有上述公式，但計算過程應該仍然很暴力吧。。

順便附的曲率信息：在FS度量下， 所以我們要找的應該是個比1稍大的數？

你連度量都下不下來當然沒法算。

巧法的是有的，需要用到對稱性。甚至任何帶狀區域都可以算，這個叫symplectic geometry 中一個叫做Duistermaat-Heckman定理的東西。這個定理來自於阿基米德算球面一個帶狀區域面積（是高度函數的差值正比）。