李導數的淺顯解釋？

12-31

生活中最具體的例子就是

從P點出發先沿經度線向北走一公里再沿緯度線向西走一公里到達Q

從P點出發先沿緯度線向西走一公里再沿經度線向北走一公里到達R

由於地球是球面 Q和R不是同一個位置 李導數就是用來測量Q和R之間的差距的

在平面上

從P點出發先沿x方向走s的距離再沿y方向走s的距離達到Q點

從P點出發先沿y方向走s的距離再沿x方向走s的距離達到R點

在歐式平面上的x和y的坐標線是直的所以前後兩次行動到達的位置都一樣 Q=R

此時x和y向量的李導數為0

而在流形上我們做類似的運動

先X後Y 達到Q

先Y後X 達到P

由於這裡的坐標線不是「直」的所以我們到達的位置Q和R不同這與經緯線從三維看是彎曲的道理類似

若前進的距離十分小 Q 和 R 之間的藍色矢量可以由李導數給出

$mathfrak{L}_{X}Y=[X,Y]=X^{a}Y_{:::,a}^{b}-Y^{a}X_{::,a}^{b}$

$V_{P-Q}=s^2[X,Y]$

其中s是兩個方向上分別前進的距離