函數可導，則其導函數可積？

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如題，在本科高等數學範疇內，這個命題是否成立？

不一定的。函數可導只說明導函數有原函數。注意，在本科高數的語境下，可積是指黎曼可積，也就是黎曼和有極限，這和被積函數有原函數是兩碼事。

一個本科階段常用的反例是

$f(x) = x^msin frac{1}{x^n},m>2$

補充定義 $f(0)=0$ .這個函數在 $x eq 0$ 上可導，導數是

$f$

在 $x=0$ 處根據定義，函數也可導，導數是0.但是當n&>m的時候，在x=0附近導函數是無界的。因為黎曼可積函數在閉區間上是有界的，從而這個導函數在一個包含x=0的閉區間上不是黎曼可積的。

不一定，原函數存在定理有兩條，一是連續必然存在原函數，有振蕩間斷點可能存在原函數，而可積是指黎曼可積在有限區間上的有界函數，連續或者有有限個間斷點必可積。可導函數的導函數無法滿足黎曼可積的條件，故可不可積無法確定(以上僅為一點對高數的理解)

沒記錯的話求微分屬於線性運算，但不一定可逆。

不會證，但是想了個極端例子：

已知： $f(x)=3$ ；可以推導出： $f$ ；

但是已知： $f$ ；好像積不出什麼來……

啊，打字好累啊。