為什麼石墨烯等材料的費米面附近是Dirac錐？

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有對稱性上的原因或者別的原因嗎？和材料的維度有關聯嗎？

修改了一下，之前說得有問題。

我用凝聚態的語言把這件事情說清楚。石墨烯中的Dirac點由三個對稱性決定：時間反演、空間反演、三度旋轉。也就是說，這裡的Dirac點的出現不是偶然的，而是由格子和對稱性決定的。下面給出一個詳細的證明。

1，「空間反演+時間反演」。對無自旋的情況，時間反演就是復共軛。對於石墨烯，空間反演就是交換兩個原子，所以在兩個原子張成的贗自旋空間里，空間反演算符就是 $sigma_x$ 。同時「空間反演+時間反演」是保證動量不變的，於是必有 $sigma_x H^*(k) sigma_x = H(k)$ 。那麼 $H(k)$ 只能由 $sigma_x$ 與 $sigma_y$ 兩個泡利矩陣組合成： $H(k)=d_1(k)sigma_x + d_2(k)sigma_y$ 。

2，Co-dimension。注意到石墨烯是二維繫統，而哈密頓量又有兩個泡利矩陣，我們發現：動量的維度和組成哈密頓量的矩陣數是相等的。這就導致一個結果：一旦 $H(k)=0$ 有解，任何微擾（也是 $sigma_x$ 與 $sigma_y$ 的組合）無法把這個解移除，除非兩個解相消，因為我們總是可以移動k來重新找到零點。所以我們可以說，一旦Dirac點存在，那麼「時間反演+空間反演」能夠保證它的穩定性。然而，它不能保證Dirac點一定會出現。

3，三度旋轉。上面的條件再加上三度旋轉就可以證明出Dirac點一定存在了。原因是，K點（即六邊形布里淵區的頂點）在C3下不變。而由於AB子格子的相位不同，在K點上，他們的C3本徵值是不同的，也就是說 $H(K)$ 不會有非對角元。根據上面限定的形式，就推出 $H(K)=0$ 。

最後，如果晶體輕微地破壞了C3對稱性也沒關係。因為我們已經證明過，只要「時間反演+空間反演」存在，Dirac點對微擾就是穩定的。

是Chiral symmetry導致的gap-less的能帶結構，此處的Chiral symmetry事實上指的是AB子格之間作變換A-&>B B-&>A 而系統的哈密頓量保持不變，對應於場論中Dirac方程相關的Chiral transformation具有相同的數學表示形式

我們回到Graphene本身在高對稱點附近的Hamiltonian，具有形式kx*sigma_x+ky*sigma_y，如果想要打開gap，則必須引入與該哈密頓量不對易的量，即sigma_z相關的項，具體到物理本身，則相當於在六角晶格上加上交錯的onsite energy，Haldane管這樣的項叫做Parity anomaly，其與交錯磁通之間的競爭，可以實現QAH phase和band insulator之間的拓撲相變。