數論中群的概念是怎麼提出來的？群中的規則又象徵著什麼？為何有這樣的規則？

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下面內容是草稿箱里整理出來的一點內容，算是群論草創期的一點歷史紀要。要點只有一句(本著Arnold的精神)：群本身就是某個數學對象所有自同構構成的集合。這樣的集合自動滿足所有群運算規則。

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下面是根據若干本書整理出來的Galois1831年1月提交的論文

」Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux「(論[代數]方程可用根式求解的條件)

前半部分的內容紀要。Galois群，正規子群以及Galois基本定理，都出自這篇文章。

0. 群的概念是Galois在分析域的結構時得到的，因此從發現順序而言域的概念應當擺在第一位；

1. 粗糙地說，域是在某集合上定義加法和乘法(加法交換且可逆, 乘法交換且對非零元可逆)形成的代數結構。下文中要求域 $F$ 的特徵為0，也就是有限個乘法單位元相加不等於加法單位元；

2. 定義在域 $F$ 上的一元多項式 $f(x)$ 可在 $F[x]$ 上作因式分解。不能分解的多項式稱不可約多項式。

Galois首先假設n次不可約多項式 $f(x)$ 有根 $x_1,x_2,dots,x_n$ 。Galois這個假設是否合理引出了後來Kronecker等人對分裂域的研究。假設存在這樣的[最小的]域 $K$ 使得 $f(x)$ 在 $K$ 上有n個根。

$f(x)$ 有兩個重要性質：

a) 若 $F$ 上的多項式 $f$ 與 $g$ 在 $K$ 上有一個公共根，那麼 $fmid g$ 。(Galois 文章的引理一)

b) 由a)可以推出， $f$ 在 $K$ 上沒有重根。

這兩個性質是Galois研究域結構的基礎。給定不可約多項式 $f$ 的根 $x_1$ ，它有n-1個 $K$ 上的「夥伴」

$x_2,dots,x_n$ ，稱之為 $x_1$ 的共軛元素。

3. Galois的靈感來自Lagrange的研究。Lagrange研究的對象是"有理域" $R(x_1,x_2,dots,x_n)$ (也就是說，域中元素是 $phi/psi$ , $phi,psi$ 是定義在 $F$ 上的多元多項式 $phi(x_1,x_2,dots,x_n),psi(x_1,x_2,dots,x_n)$ (當然分母不為0)) 。Lagrange對 $x_1,x_2,dots,x_n$ 作一個置換，通過研究 $R$ 中的元素 $r(x_1,x_2,dots,x_n)$ 在置換後 $r$ 的形式的變化來研究有理域R的性質。Galois強調，研究「有理域」R不應當僅僅研究r形式的變化，還要研究其具體數值的變化。

設 $x_1,x_2,dots,x_n$ 就是 $f(x)$ 在 $K$ 上的n個根。Galois是怎樣研究"有理域" $R(x_1,x_2,dots,x_n)$ (其實它就是 $K$ )的呢？Galois1831年的論文一上來敘述了四個引理。其中至為重要的是引理二與引理三。

引理二 存在 $Vin R(x_1,x_2,dots,x_n)$ 使得

$x_1,x_2,dots,x_n$ 跑遍n!個置換所得V的n!個值兩兩不同。

Galois沒有對這個引理作出詳細證明。

引理三 K上任意元素可由V有理的表出, 也就是對K中任意一個元素k，存在F上的一個有理函數g使得k=g(V)。

Galois對這個很重要但絕不顯然的引理給出了一個證明。Poisson審稿後認為Galois的證明不完全，但引理本身是正確的。平心而論，Galois的證明不能說是清晰明白(這也是這篇文章被法國科學院拒稿的最重要的原因)，但可以根據他的思路復現一個正確的證明。引理二和引理三的證明可以參見GTM 101 31節-37節。(Galois其實給出了不可約多項式f分裂域的構造法!)

4. 記 $F[x]$ 上以V為根的(m次)不可約多項式為 $pi$ . 寫出它在(K上)的所有根 $V_1=V,V_2,dots,V_m$ 。由Galois的引理三，可以找到n個F上的有理函數 $phi_1,phi_2,dots,phi_n$ 使得 $x_i=phi_i(V)$ 。根據不可約多項式的性質a), 可以導出 $phi_i(V_j)$ 也是 $f(x)$ 的根，且若 $i1 eq i2$ , 必有 $phi_{i1}(V_j) eqphi_{i2}(V_j)$ 。這樣就得到一個表格

$egin{matrix} phi_1(V_1) phi_2(V_1) dots phi_n(V_1)\ phi_1(V_2) phi_2(V_2) dots phi_n(V_2)\ vdots vdots ddots vdots\ phi_1(V_m) phi_2(V_m) dots phi_n(V_m)\ end{matrix}$

(另外根據 $V=f_V(phi_1(V),phi_2(V),dots,phi_n(V))$ , $f_V$ 是F上的有理函數以及不可約多項式的性質a)、b)，可以得到上面這個表任兩行不完全相同)

這個表本質上就是Galois群的置換表示，每一行都是 $x_1,x_2,dots,x_n$ 的一個"排列"(「Arrangement」)。映射 $sigma_{jl}$ 是表格中行到行的映射

$phi_k(V_j)mapstophi_k(V_l), k=1,2,dots,n$

它是 $f(x)$ 根的集合 ${x_1,x_2,dots,x_n}$ 自身到自身的單射，稱為根的一個"置換"(「Substitution」)。

Galois稱 $G_j={sigma_{jl}},l=1,2,dots,m$ 這m個不同映射構成的集合為一個置換的群(原文為「un groupe de permutations」)。

這個定義表面上看起來與現代抽象代數課本對群的定義大不相同。Galois在論文中並未提及群的結合律、單位元與逆元，也沒有直接提及群運算的封閉性。但是，Galois至少意識到了群運算的封閉性。他在論文的Proposition I這一節里末尾提到的內容可以概括如下： $G_j$ 與j以及V的選取無關。從這句話立即可以導出有限集合 $G_j$ 具有群的所有性質，所以它與我們今天所描述的群是完全一致的。

Galois認為 $G_j$ 與j以及V的選擇無關的理由是什麼呢？Galois並沒有明說。但GTM 101的作者對此有說明：Galois的理由來自論文中的命題I(Proposition I)。

命題I 設 $h(x_1,x_2,dots,x_n)$ 是域K上的一個元素。

$hin F$ 的充要條件是對任意置換 $sigmain G_j$ , $h(sigma(x_1),sigma(x_2),dots,sigma(x_n))$ 的值不變。

這個命題是引理三和不可約多項式[及對稱多項式]性質的直接推論。由這一命題推導出Galois的斷言並不困難。具體可以見GTM 101第41節。

謝邀

我並不打算給出群論一些概念的堆砌。我只說一下直觀上面的理解。

魔方，各位應該很熟悉。

我們每轉動一下魔方，它就和原來有些不一樣——色塊的相對位置變了。

我們不同方向地轉動魔方，它的色塊也是相對位置變了。

我們同一塊位置轉動4下，它回到了原來的位置。

隨便舉個數論的例子，來看 $n^{2}mod9$

n=1時候， $n^{2}mod9$ 為1

n=2時候， $n^{2}mod9$ 為4

n=3時候， $n^{2}mod9$ 為0

n=4時候， $n^{2}mod9$ 為7

n=5時候， $n^{2}mod9$ 為7

n=6時候， $n^{2}mod9$ 為0

n=7時候， $n^{2}mod9$ 為4

n=8時候， $n^{2}mod9$ 為1

又回到了原來的位置

怎麼樣，這是不是和魔方有點相似，好像是某種變換，甚至是某幾種變換，它們可以複合，然後複合好幾次，又回到了原來的位置。

雖說是變換，但是變換有很多種，同類型的變換可以複合。研究這些變換集體的整體性質，其實就是群論的內容。

我覺得一上來講群是怎麼怎麼樣的，未免不妥。

我從半群開始說，下面我會貼張圖。

半群的結構比群要簡單。我也不想堆定義概念，我就說說我學的時候怎麼看待半群。

我們碰到的運算，無論是矩陣，數字，字母，甚至是自定義運算，在群論出現之前都是雜亂無章的，也就是說，我們談運算的時候一定都先問對象是什麼，那萬千世界要多少運算就有多少運算，這之間沒有聯繫？有，那就是半群，我當時學半群時，我的腦子裡就是矩陣運算和數字運算，我就認為半群是一個集大成者，包羅世界運算，但又不乏自身的結構，如果僅僅是總結而不發展，群論也沒意思。

自然而然，在半群的基礎上，我們覺得半群的結構還是不夠好，什麼叫不夠好？我們發現，半群雖然有運算，但是沒有單位啊，也就是，我一堆東西我沒個標準啊，於是仿照傳統意義上的運算，就創造了單位元。但是有了單位元，有了運算，我還是覺得不夠啊，因為如果我反過來運算，我不一定能找到這個結果啊，於是有了逆元（這裡的單位元和逆元我就不寫左右了），至此啊，群的概念就呼之欲出了。

所以，你從半群開始理解，到群的建立就是一種自然的過程啊。如果上來啪啪啪把群是什麼拿出來，我也一臉蒙蔽啊，怎麼想的出來這個玩意兒？

（以上全是個人幫助學習而理解的，與數學史不符的，與本答案無關啊。）

個人理解：

數學的趨勢是抽象，而我們平時見到的無論是數（1, 2, 3, 4, ...）還是運算（+, -, *, /）都過於具體了，並不是所有的情況下都能使用。對於數學來說，事物本身可能沒那麼重要，重要的是性質。

回過頭來說群，群本質上是一個集合，集合的元素可以是任意事物，數也可以，物也可以，人也可以。但是只有集合是沒有太大意義的，因為只是一些可能有關也可能無關的事物的堆砌，為了讓集合活起來，我們可以定義集合間的映射，也可以在集合內定義運算。

於是我們就定義了一個運算，最簡單的運算是二元的，比如記作￥，那麼元素A和元素B進行運算以後得到了C，那麼就寫成A￥B = C。那麼問題來了，A和B又是什麼，C又是什麼？

如果從已有的加法（實數）和乘法（實數 - 0）進行思考，就能發現他們有結合律，有零元，能找到每個元素的逆元，再加上封閉性，就是現有的群的特性了。

一個問題是為何不加上交換律，這個也好理解，因為一些運算是沒有交換律的，比如矩陣乘法，而剩下的性質反而常常同時出現，所以就結合到一起，構建出群的概念。

群對運算作了很好的抽象，群中的規則是從加法的特性中取得的。之後的環和域也是數學和其它學科常用的概念。可以說，有了這些概念，人類才對運算有了更深的認識。

如果你剛開始學習群的概念，並且感覺無厘頭的話，那麼我建議你閱讀遠山啟大師的《數學與生活》，這本書能幫初學高等數學的人完成從初等數學到高等數學過渡知識的積累，這正是國內大學數學教育所缺少的內容。

引用鞠實兒先生的一段話：

「在我學習生涯剛開始時，父親就對我說：「讀書首先要細讀序和跋，其中包含的知識會幫助你理解書的內容。」多少年過去了，現在輪到我來為書作序了，目的當然是為讀者把握全書提供條件。

如何做到這一點呢？途徑大致有二：其一，微觀法。通過對其組成部分及其相互關係的描述，揭示篇章間的前後關照，展現全書的結構，讓人易於對書的內容入木三分。學人曰：慎思。其二，宏觀法。藉助一個超越其內容的「宏大」敘事，烘托出全書背景，由此催發閱讀心態在時空中擴張，讓人易於自我感覺登高望遠。學人曰：反思。」

學習也與之類似，不過當前的數學教育過度注重了「微觀法」方面，忽視了「宏觀法」方面，容易使人只知其然，卻不知其所以然。要想對一個事物有整體的認識便必須要到更大的整體中去看，才能看到它的來龍去脈，否則是看不清楚的，所謂「不識廬山真面目，只緣身在此山中」罷了，數學如此，群論亦如此。