求解釋曲線撓率計算公式？

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在某一曲線的的弧長參數表達式中，某一點上的撓率=—（一階導數，二階導數，三階導數的混合乘積）除以（二階導數的模的平方），求解釋這個公式是怎麼推出來的？

不知道為什麼問題只有在移動設備上才看得清……既然看到了就寫寫吧

按照定義，取曲線上的Frenet標架 ${T,N,B}$ ，而曲率 $k$ ，撓率 $au$ 定義如下

$frac{d}{ds}egin{pmatrix}T\N\Bend{pmatrix}=egin{pmatrix}k\-k au\- auend{pmatrix}egin{pmatrix}T\N\Bend{pmatrix}$

在弧長參數下，

$dot r=T$

$ddot r=frac{d}{ds}T=kN$

$dddot r=frac{d}{ds}(kN)=dot kN+k(-kT+ au B)=-k^2T+dot kN+k au B$

因此

$(dot r,ddot r,dddot r)=dddot rcdot(dot r imesddot r)=k^2 au$

而注意到

$|ddot r|^2=|kN|^2=k^2$

因此

$au=frac{k^2 au}{k^2}=frac{(dot r,ddot r,dddot r)}{|ddot r|^2}$