量子計算機會給數學研究帶來突破么?

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如果題主說得是能引出什麼新的數學工具的話, 我不知道.

不過我可以給出幾個與組合優化相關的例子, 如果題主認為組合優化算數學研究的話.

曾經看到過某位做代數編碼的老師用計算機代數系統算過一些例子, 大概是用了個小型工作站. 但如樓上所說, 現在能形式化的用計算機處理的問題都不多. 而量子計算機能提供的加速不外乎是對少數問題指數時間加速, 剩下的問題也就是多項式時間加速. 那麼現在的問題是如何形式化一般的數學問題, 而不是嘗試找到一個指數時間加速的量子演算法. 顯然這是與量子計算無關的問題.

而說到量子計算裡面的數學家, 最出名的應該是 Michael Freedman 和王老師那些人吧, 他們給自己做的數學找一個能用上的地方. 據說當年 Kitaev 那套東西提出來之後, 物理學家們過了幾年才知道他在說啥, 並且告訴他們其實是可能有這樣的東西存在的. 我並不覺得 Freedman, 以及他們那一系列工作有什麼值得非議的地方.

不知道題主如何定義數學研究, 如果是廣義的那些(比如說包括組合優化的話), 昨天剛看到一個工作: Freedman 等人做的, 在張量網路上定義了最大流/最小割(Quantum Max-Flow/Min-Cut)[1]. 具體來說，考慮一個無向圖 $G=(V,E)$ , 並且 $forall e_i in E$ 對應一個 Hilbert 空間. 定義每個頂點 $v_i in V$ 對應的張量積為其所有鄰邊的 Hilbert 空間的張量積, 按照圖 $G$ 的連通情況收縮張量. 最後, 定義上面的流(flow)為張量算符的 rank, 即從起點 $S$ 對應的張量積變換到終點 $T$ 對應的張量積的變換算符. 並且證明了類似弱對偶定理的結論, 即最小割小於等於最大流. 他們猜想在系統非常大時, 有強對偶定理的結論成立, 即退化到經典情形, 即

$lim_{n ightarrow infty} QMF_{S,T}(G, nC) = QMC_{S,T}(G,C)$

這裡的 $G$ 是無向圖, $C$ 是上面的邊對應的權值函數. 最小割的定義類似, 不過把對邊的求和換成了張量積.

類似這樣的對應很可能導出一些 non-trivial 的結果, 比如說 Hamiltonian Complexity 最早就來自於 k-local Hamiltonian problem, 而它的經典對應就是 MAX-k-SAT. 相關的例子還有 Bravyi 定義的 Quantum k-SAT 與 SAT. 關於量子計算與組合優化有篇挺不錯的介紹, 參見[2].

當然還有些對近似演算法的討論, 比如說 Farhi 等人提出的 QAOA 演算法, 基於絕熱量子計算, 我寫過一點相關的介紹: 如何看待D-Wave量子計算機的神話破滅呢? - 知乎用戶的回答. 現在看並沒有什麼特別顯著的優勢.

Reference

[1] Cui S X, Freedman M H, Sattath O, et al. Quantum Max-flow/Min-cut[J]. arXiv preprint arXiv:1508.04644, 2015.

[2] Scott 去年的 Seminar 上 Rolando Placa 的 Project Report: scottaaronson.com 的頁面

謝邀。

平心而論，如果計算機的計算能力大幅度提高（但是通過何種渠道提高並無關係，我們需要的只是「計算能力大幅提高」這個結果而已），對計算數學、理論計算機等學科肯定是有幫助的，對純數學裡面一些問題的研究也有幫助，我知道馬里蘭大學有人用計算機做李群的某種無限維不可約表示的分類問題（好像是Hilbert空間上的表示）。當然，是首先有大數學家證明了大定理，把具體怎麼做的框架給搭出來了，然後再有人和計算機學家合作，具體設計演算法和程序。整個project花了他們十年時間。

但是現在最重要的問題是，絕大部分純數學問題，都沒辦法formulate成計算機能處理的形式。現在計算機給出的所謂「數學證明」，包括四色定理，包括我上面所說的李群表示的問題，都是首先由人類數學家把問題約化成有限的、組合性質的問題（或者是線性代數性質的問題，大家直接電腦處理矩陣運算也非常在行），再設計演算法來處理。說白了創造性的工作都是人類做的，計算機不過當了個接受命令不分晝夜幹活的奴隸，幫人類做完最後一步工作而已。。

算盤發明會給記賬帶來突破嗎？

圖靈機發明會給破譯帶來突破嗎？

計算機發明會給運算帶來突破嗎？

CPU摩爾定律會給數學發展帶來摩爾定律嗎？

這很明顯是個科普類而非專業的問題。

嗯，並不能。

數學並不是算數。

會

去了解Post Quantum Cryptography吧，量子計算機會徹底改寫現有的加密演算法。Post Quantum Cryptography是研究量子計算機的演算法，以及在擁有量子計算機的情況下，如何進行加密和破解。

量子計算機估計也只能進行數值計算，速度比普通計算機快很多倍。如果量子計算機能進行解析計算，並且是人類無法得到結果的解析問題，那豈不是超過人腦這個造物主了？

量子計算機要造出來，首先就受限於當代的物理，數學和計算機科學的水平。但是如果真的造出來了，甚至是普及了，對大數運算肯定是有幫助的，甚至有的地方會完全的被顛覆。最簡單的就是現代各種密碼的構成，如果真的有量子計算機，這些密碼都不保險和安全了，本來常規計算機需要幾千上萬年才能破譯出來的東西，量子計算機能很快破譯

不會。

我認為是會的。

首先，先說說計算能力的提升對數學的影響

高德納認為：假設有 100 年的可持續文明，我確信會有很大比例的定理（甚至 38.1966%）由計算機輔助發現。而且還會有不小的百分比 (0.7297%) 由計算機驗證得到證明，這可能是凡人無法理解的。

筆者的知識不太豐富，知道的有弱哥德巴赫猜想（10^30次方數量級）、四色猜想。

量子計算機會對某些計算問題進行指數級或者多項式級別的加速，應該會對加速某些數學定理的證明，或者變不可能為可能。

其次，量子計算機會加大地推動機器學習。谷歌的研究員已經（數據來源於深科技）設計出演算法，在樣本錯誤率過半的情況下，依然可以有不錯的效果。機器學習極大地提高後，可能會探索出更高級的數學模型和數學理論。

謝邀。

一堆數學家跑去搞量算了，顯然會對數學研究產生負面影響。

（……抖完機靈表示我一直覺得演算法屬於數學而非計算機，量子演算法同理。所以還是好事啦。）

（計算速度那些就更不用說了，雖然還待研發。）

（給我另一個回答打廣告 $downarrow downarrow downarrow$ （其實現在覺得有點Naive了）。）

（為什麼數學專業要學計算機？ - Leader Victing 的回答）