為什麼與石墨烯結構類似的氮化硼是不導電的？

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難道氮化硼的平面結構不是由大pi鍵維持的嗎？是不是因為BN鍵的極性導致電子不能離域呢？

Graphene has sublattice symmetry (2 C in a unit cell) which protects the Dirac point in its band structure, and thus is gapless. On the other hand, in BN the sublattice symmetry is broken (1B and 1N in a unit cell), which opens the band gap and makes it insulating.

頂樓已經從對稱性的角度解釋過了，我嘗試一下從緊束縛模型（Tight binding）出發，用能帶理論說明一下，算是填補一下和用群論解釋之間的gap吧(補充一下更多細節可以參考任何一本相關的固體物理教程)。

事實上tz說的大pi鍵這是分子軌道的概念，但是沒關係，分子軌道裡面的LCAO method其實和緊束縛模型背後的思想是一致的。緊束縛顧名思義，就是假設核外電子主要受到原來原子核的束縛，轉化成量子力學的語言，就是把電子波函數寫成每個原子上電子波函數的線性疊加的形式（圖片來自wiki-Tight binding）下面就開始搬運wiki了

然後利用平移對稱性得到的Bloch定理

再歸一化之後就可以得到

這個式子就是接下來推理的起點了。

考慮一個一維的晶體核外的s電子通過sigma鍵連接在一塊

接下來就是緊束縛模型裡面一個很關鍵的近似了，即通常只考慮最近鄰原子的影響，寫出數學表達式就是，H是體系的總哈密頓量，這裡要理解的就是原子上的波函數n&>在體系總哈密頓量H作用下之後會產生與其他原子上波函數交疊的分量，或者用線性代數的語言就是一個線性空間里的矢量在經過矩陣變換之後，方向和大小發生了改變，可以與其他基矢量發生交疊了。在這裡只考慮了最近鄰，也就是&=s,&=-delta,S的物理意義就是相鄰原子電子波函數的重疊，如果緊束縛的非常厲害，也就可以認為他們不發生交疊，此項為0，也就是原子上電子波函數n&>是相互正交的；另外一項-delta其實就是相鄰原子通過S軌道電子形成的sigma鍵的鍵能

理清了這些東西之後，就可以得到我們想要的能帶結構了，也就是色散關係E(k)，注意到這些式子最後一步的時候省略了求&的過程，其實就是上面的四個關係式就能得到的。

有了一維晶體模型的電子結構的推理過程，事實就很容易得到石墨烯和氮化硼電子結構了，於是我就偷了一個懶，一想計算二維晶體的電子結構說不定正好是一個固體物理課程的課後習題呢，果然，谷歌大法好，很快就找到了lampx.tugraz.at 的頁面

正好是一個學生的作業。。。還算了氮化硼和石墨烯，並且用MATLAB把代碼都寫好了，直接搬運就好了。簡單說明一下就是

1.把波函數寫成線性疊加的形式，不過這次先假設有兩種原子，然後平移矢量是二維的；

2.寫出薛定諤方程 $Hvarphi =Evarphi$ ，然後就可以得到下圖中的久期方程，為了使得係數 $c_{B}$ 和 $c_{N}$ 有解，前面矩陣的行列式就要為0，所以最後解一個一元二次方程就好了，不難發現最後的色散關係形式上就是一個二次方程的求根公式；

3.所以你看最後色散關係的表達式中，只要令 $varepsilon _{B}= varepsilon_{N} =varepsilon_{C}$ 就是石墨烯的能帶結構了，這時帶隙也就是0了

題主的理解基本正確：就是因為BN鍵是有極性的，電子喜歡跑到N原子上面，然後老老實實待在那裡，而一個老老實實待在一個原子附近的電子基本是不參與（直流）導電的。

另一方面要想理解石墨烯為什麼導電就不那麼容易了。雖然可以簡單地理解成：由於C-C鍵兩邊都是同樣原子，電子不能在不破壞任何晶體對稱性的情況下集中到其中一個C原子上，因此就是離域的。但是這個解釋其實是不正確的。有一個非常不平凡的結果，說的是如果允許破壞時間反演對稱性的話，即便在保持六重旋轉對稱性的情況下依然能夠得到一個絕緣態（即有能隙的能帶結構）。這個絕緣態的構造是Haldane在1988年的Physical Review Letters上發表的，這項工作第一次提出了不需要外加磁場的量子霍爾態，從而在一些人看來，是近年來頗受關注的拓撲絕緣體領域的開山之作之一。

那麼是否只要保持晶體對稱性和時間反演對稱性，就能保證系統是導電的（無能隙的）呢？其實這個條件太強了。事實上，我們只需要時間反演對稱性和空間反射對稱性的乘積（也就是P*T），就可以保證狄拉克錐不會打開能隙（同時假設無自旋軌道耦合）。這個結論的證明就已經超出了題目的範圍了。如果有人有興趣，我可以再更新。

其實最簡單的一個圖像，碳原子外層有四個電子，但石墨烯六角蜂窩狀結構每個碳原子近鄰的只有三個原子，剩下一個價電子不能成鍵，沒被束縛住，因此就可以很容易地在整個石墨烯中運動，所以石墨烯導電。

而氮化硼呢，硼外層有三個價電子，氮有五個，這樣，生成氮化硼以後，不管是氮還是硼，其最外層電子都通過生成共價鍵固定住了，因此就不能在整個固體中自由移動，所以導電性差。

由於氮化硼含有N，B兩種原子，導致了氮化硼的gap很大。相似的，石墨烯有A，B兩種碳原子，如果在計算時人為的調大A，B兩種sublattice的onsite energy之差，也可以得到一定的gap。由於BN與graphene的晶格常數接近，實驗上把石墨烯放在BN上，兩種晶格相近的晶體在一定的角度下會形成長周期結構，也就是摩爾pattern，這個也是相當有趣的一種現象，有著豐富的物理。

說白了還是庫倫相互作用

形象地來講

①因為B和N排布在一起時形成比較鮮明的對比 B比N要矮一點窮一點丑一點電子這種小女生當然非常喜歡和N待在一起啦即使勉強走了一個又會有一個電子湊過來雖說無數個BN排在一起整體看上去電子排布均勻形成大派鍵但其實那些電子還是喜歡和N在一起的

②再加上都是小原子由於核外電子只排布到2p 原子核的束縛能力還是很強的形象地說也就是 N也就只束縛那麼多不會把B原來的小女生搶過來只要搶走一個B就豁出去了

順便說下我的猜想假設真的有兩個不同的重元素(兩個都是高富帥)這樣互補地排在一起只要晶格常數不是那麼的大那最外層那些電子(外圍的最不受兩個高富帥寵愛的)就很可能會非定域了吧也就導電了

石墨烯的大派鍵導電是因為那真的是均勻的大派鍵電子無所謂跟哪個C(都是一個人的無數克隆哪怕這個人不是什麼高富帥也沒得選了)

不過題主最好能從數學上面把前後的邏輯理一下到底能隙是怎麼算出來(量子力學+固體物理)

對稱那個可能更加抽象和晦澀一點我只是知道物理裡面只要有一個對稱就對應著一個守恆不知道這裡這個對稱意味著什麼？不理解怎麼從對稱性推到BN不導電的

首先，具備下列特性的物質才導電 ①電子導體,以電子載流子為主體的導電，例如Cu，Ag，Au等金屬和石墨。 ②離子導電,以離子載流子為主體的導電，例如NaCl(熔融)，NaOH(熔融)。 ③混合型導體,其載流子電子和離子兼而有之。 ④除此以外,有些電現象並不是由於載流子遷移所引起的,而是電場作用下誘發固體極化所引起的,例如介電現象和介電材料等。而六方氮化硼不具有離子，它屬於共價化合物，也不能像石墨一樣導電，石墨能導電是因為它採用sp2雜化方式，有一個遊離電子。而氮化硼採用sp3雜化方式，沒有遊離電子，因此它也不作離子導體。www.ty1971.cn

簡單點說呢 BN里的π鍵是定域的吶～

BN和Graphene放在一起具有的半導體特性是不是這種長周期結構導致的？