想徹底搞明白廣義相對論，必須看一遍微分幾何嗎？
12-31
並不是想搞什麼理論研究，單純的想了解愛因斯坦到底說的什麼？
當然不需要。在學習廣義相對論的過程中你會順便學到相關的微分幾何知識，不必刻意提前學。從深度來講，這些知識與正統地學一遍微分幾何，相差仍甚遠。
(小黑一下，我轉行數學了之後越發體會到這種現象，就是當學物理的人總是號稱某一門物理課需要以某一門數學課為基礎知識的時候，實際上那裡面用到的數學在學數學的人眼裡才是很初級的而已。。。物理重在物理，不要老是想著碾壓數學嘛)
推薦兩本很經典的廣義相對論教材吧，
Sean Carroll
Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity前者更加入門；後者從入門開始，到後面會進入些十分高級的話題。
梁燦彬，周彬
微分幾何入門與廣義相對論
這是國內最牛的廣義相對論教材了吧，一共三冊，體積略嚇人。內容上與上述第二本的Wald相呼應，也是從入門開始直到很高級的內容。個人感覺在高級內容中比Wald更甚嚴謹，補充了許多Wald從數學角度不曾細究嚴謹的證明，就連專業人士都要慎入。
最後，人各有所需，各有所好，如果題主並沒有這麼大的胃口的話，那我覺得國內的其他廣義相對論教材里，並沒有據我所感特別突出的。如果只是想隨便看看，只要是內行人寫的隨便哪一本都行，在此則不做推薦。了解個大概可以看看梁燦彬的《從零學相對論》。書中數學被拋掉了許多，立足點算是時空圖吧。要看微分幾何的話不用看數學書，直接看梁燦彬的《微分幾何與廣義相對論》。
不需要，看到黎曼度量就夠了。
作為廣義相對論的創立者愛因斯坦本人都不懂微分幾何，你說要不要!
推薦閱讀：
※用顏料畫一幅抽象畫，是熵增了還是熵減了？
※為什麼很多人認為中國的基礎教育強於西方？
※如何理解粒子的全同性？
※有哪些科幻作品裡的設定已經實現或者很有可能實現？
※參加物理競賽是否一定需要天賦 ?