四維流形複雜程度超出其它高維度流形的原因是什麼？

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有誰能簡明地講一下，為什麼維度到4是個坎？

big list - What makes four dimensions special?

這個回答很好，很多年前看過，一直記在腦子裡。

1.Whitney trick does not work,

2.Every finitely presented group may be realized as the fundamental group of a closed smooth 4-manifold.

3.三維Ricci flow有ivy pinch

這取決於你研究的問題。如果是代數幾何的話，代數曲面明顯比高維代數簇或者scheme更容易。如果是辛幾何的話，我們對symplectic 4-manifold的了解明顯比高維要多很多，因為4維情形有Seiberg-Witten。對於hyperkahler幾何，4維情形直接reduce到Calabi-Yau幾何，所以緊緻單連通的hyperkahler曲面就只有K3曲面。而在高維，還可以考慮Hilbert scheme of points on hyperkahler manifold。

所以高維比低維更有趣只在幾何結構足夠強的情況下才成立，這是一種rigidity。微分拓撲不在這個範疇裡面。

謝邀請。

下面寫的不算回答，因為這都是個人經驗和理解，多為無聊的瞎想，可能在專家眼裡還有些可笑，但如果能起到拋磚引玉的效果我就很滿足了。

以前我寫過一件事，就是龐加萊猜測剛解決的那年，我和一個在相關方向工作的傢伙聊天，問了他一個問題：五維球面為什麼可以翻轉？

他想了一段時間說; That is not our world.

數學，最早是來源於實踐的。拿幾何來說，一維是條線，二維是個面，面比線多了個叫做角的幾何結構。三維是體，裡面有異面直線，二面角等面里沒有的東西。四維有閔科夫斯基度量洛倫茲變換，這都是真實世界中存在的東西。四維以上呢？不知道，我們也看不到。數學上的高維空間是四維甚至只是三維的形式推廣，本質上沒有多出更多的幾何結構。

設想一下，如果真的存在一個高維空間，我相信應該會有從三維空間四維時空總結不出來的結構，也就是我們被三維四維局限而不可能知道的結構。或許加上新的結構，五維球面就不能翻轉。

我們對拓撲的理解最早也源於對世界的認識，連續和開集甚至微分結構為什麼要這麼定義？現在看起來這些定義很自然，和維數沒有關係，可我們在藉助經驗構造這些定義的時候會不會隱含著本身世界的局限？Bott周期中第4個是Z, 4維有signature，這是不是從真實世界到數學世界再到真實世界的反饋？至於前面有人提到的Seiberg-Witten, 更是直接從真實世界中來的。

算了，感覺再寫下去就成量子佛學一類的東西了，希望不會誤導你。

以下純屬個人觀點，如果你認為不妥，儘管拍磚。

題主提到"為什麼維度到4是個坎"，這是一個很好的問題。個人認為，這個問題如果能解決，空間，時間，統一場論等有關問題，可能都可以解決。問題在於人們對於無窮認識不夠，有無不分。如果對無窮，有無這些問題的認識有所突破，柤信四維，五維，六維的幾何圖形都是可以實現的。

以下是個人得到的各維空間的幾何圖形。

一維，球的半徑。

二維，一個圓。

三維，一個球體。

四維，一個環體。

五維，一個空心球體。

六維，一個空心環體。

如何得到上述各維圖形的呢？其實很簡單，只要將通常的所謂三維空看成"無"，一個能容納萬物的"無"，這"無"和老子的"無"是一樣的，"無"無窮，無限，而"無"里的萬物則是"有"，"有"是有窮，有限，即"有，有窮。無，無窮"。

這樣，維度到4也就不成為一個坎了。

以上是個人觀點，想討論，想拍磚都歡迎。