李導數與協變導數有什麼聯繫？

12-31

1）李導數和協變導數的定義都需要兩個輸入：求導方向和被作用對象。針對被作用對象，李導數和協變導數都是普通的導數算符，即滿足線性性和萊布尼茲率，並且均保持被作用對象的截面性（即作用前後均為同一個矢量叢的截面；對於協變導數，一般表述為「協變導數作用後還是張量」）。

2）但是，二者對求導方向 $X$ 的依賴差別非常大。先考慮作用在光滑切矢量場 $Y$ 上。

2.1) 協變導數 $abla_X Y|_p$ 只依賴 $X$ 在 $p$ 處的取值。不管 $X$ 在 $p$ 附近如何延拓，求導值在 $p$ 處都是一樣的。或者說協變導數只需要知道 $X$ 在 $p$ 一點處的值即可進行。

2.2) 李導數 $mathcal{L}_X Y|_p$ 則依賴 $X$ 在 $p$ 附近的行為。因此，要使用李導數， $X$ 必須是 $p$ 鄰域的光滑矢量場，光知道 $X$ 在 $p$ 一點處的值是不夠的

2.3) 從 $mathcal{L}_XY =[X,Y]=- mathcal{L}_YX$ 可以看到， $X$ 和 $Y$ 是平權的，對應 2.2) 中 $X$ 必須也是矢量場。

3) 李導數定義來源於流形的光滑結構，是光滑流形自帶的算符，作用在與流形光滑結構相關的矢量叢（切叢、餘切叢及其張量積，旋量叢）的截面上。協變導數可以在任何矢量叢上定義，但需要額外的人工信息來定義（聯絡或者平移規定）。

4) 李導數和協變導數需要比較（作差）鄰近兩點上的對象，都必須先把一點處的對象移動到另一點處。前者的移動法則是流形自帶（並由 $X$ 誘導）的無窮小微分同胚，後者是無窮小平行移動（人為指定，並隱藏在聯絡形式中）。

5) 李導數總可以恆等變換為相應矢量叢上的某個聯絡 $abla$ 的組合，比如可以取聯絡為無撓率的 Levi-civita 聯絡， $mathcal{L}_XY = abla_X Y - abla_Y X$ 。

謝邀

直觀的說，李導數和協變導數各自規定了一種比較不同兩點的張量的方法，不過內在的精神是相通的。那就是對於時空中不同的兩個點，它們兩個點上的矢量並不處在一個矢量空間當中，所以是沒有辦法進行比較的。在平直歐式時空下，之所以可以比較，因為平坦的時空天然的規定了一種平移的方式，所以我們都習以為常並不覺得奇怪。

但是在彎曲的時空中，比較不同的兩點的矢量（張量類似）通常也需要進行平移，也就是說計算的差值是 $V^{mu}|_{q}-V^{mu}|_{p o q}$ 而不是 $V^{mu}|_{q}-V^{mu}|_p$ . 然後如果利用平直時空下的平移方式，我們會發現導數的變換關係並不滿足張量協變律，也就是說利用平直時空中的偏導數算符 $partial_{ u}V^{mu}$ 不是張量，鑒於張量不依賴於坐標系的特點，通常物理量都應該是張量，所以我們可以湊一項聯絡項也就是克式符讓結果變成張量。聯絡項加上偏導數項構成了協變導數，其實協變導數就是規定了一種平移的方式，當然聯絡項的引入使得這種平移和平直的時候是不同的。

但是也可以不這麼看這個問題，我們還可以找到另外的移動兩個不同點的兩個矢量的方法。看待時空中兩個點之間的變換有兩種觀點，主動觀點認為是點之間的映射，而被動觀點認為是點不動，坐標發生了變換。所以當比較坐標系中兩個點時，我們可以認為它們是一個點，只不過是在不同坐標系下，這樣我們就利用坐標變換，把不同點的兩個矢量，看成了一個點的兩個矢量。當然可以進行導數運算。這就是李導數。（李導數在微分幾何的語言下，利用拉回映射，有更清楚的定義，不過如果沒有相關基礎也可以跳過）

綜上，李導數和協變導數就是定義了比較不同兩個點的矢量的方式而已，只不過關於移動方式的指定不同。

謝邀。

協變導數和度量有關（我的理解，「協變導數」一般指的是Levi-Civita聯絡，不然叫仿射聯絡空間），李導數和度量無關，只和流形的微分結構有關。

協變導數關於求導的方向那個變數是函數線性的，李導數關於求導的方向的變數仍然是一個導數。也就是說協變導數兩個變數的地位是不對等的，李導數的兩個變數的地位是對等的（我這裡說的是對向量場求李導數）。

聯繫？最直接的聯繫恐怕是這個：對黎曼流形上的Levi-Civita聯絡，我們有 $abla_XY- abla_YX=[X,Y].$ 也就是說Levi-Civita聯絡是torsion free的（當然這是定義。。）不過我印象黎曼幾何裡面每次出現李導數，都會通過這個等式切換成協變導數。大概協變導數在黎曼幾何裡面是更自然、更容易處理的對象吧。

大致來說，這種「求導數」的操作都需要兩個東西，一個「被求導的東西」的量（通常是個張量場）和一個「沿著某個方向求導」的方向（自然由一個向量場來指明）。

此外，回憶最早先求導數的定義，需要做減法除一個數求極限。為了做減法，就要比較流形上不同地方的切空間（考慮一個球面，長在北極的向量和南極的向量怎麼做減法？顯然沒有先驗的辦法）。這一點兩者採用了不同的辦法。

李導數中的向量場除了指明沿著哪個方向求導之外，還指明了如何比較不同點的切空間：向量場生成一個（局部）相流，沿著相流推前或拉回即可。不過，立馬可以明白，這樣不能比較任意兩點的切空間，比如二維歐氏平面上全部指向x方向的單位向量場。

協變導數處理的辦法是，事先給定比較任意兩點切空間的辦法。這一觀點的來源是，通常的聯絡與給出平行移動是等價的。這一方法是，對任意p和q兩點及其「連接路徑」，就能給出這兩點切空間的同構。這個同構，可以看作把p點的切空間順著這條道路「平行」地移動到q給出的同構，於是就能夠比較兩點處的切空間了。

於是，在我的觀點裡，兩者很大的一個不同在於：通常固定一個向量場而把沿著它求李導數視作一個運算元，而不考慮把這個向量場換成另一個（因為沒有什麼意義）；給定了聯絡之後，我們可以把這個向量場也視作變數，並且因對其有C^∞(M)-線性性，也就是具有「張量性質」。具體地說，給定聯絡D以及(r,s)張量場τ，可以得到(r,s+1)張量場Dτ，這裡多出來的一個變數位置就是放入「沿著那個方向求導」的那個向量場。這一點可以與外微分d比較，是很有趣的。

當然，對我等學物理的來說，通常的說法是：普通的偏導數（李導數的特殊情況）不會得到張量而需要協變導數。細想一下，這就是上面說的意思：李導數關於那個向量場不具有「張量性質」而協變導數有，所謂的「張量性質」，就是指的C^∞(M)-線性性了。要說原因，我覺著可能就是李導數裡面向量場的「兩重身份」導致的。

-----------------------------------------

covariant derivative：

核心是connection，由坐標系，或者說空間本身決定。

lie derivative:

是某個東西（可以是form，可以是vector field)，沿著一個給定的vector field的flow，的變化。

核心是這個flow。

樓上的說的很清楚了，我來補充一個有意思的細節：（這是我認為的唯一的一種方法可以自然地引入曲率）

一個向量場x（給定一個仿射聯絡）誘導了切叢上面的一個導子Dx，兩邊都有自然的李代數結構。這個D與李代數同態的差距即為曲率。特別的，一個仿射聯絡平坦即是說D保持了李代數的結構。

滑翔的鳥看流水的速度就是李導數；世界上的航海家說道的航速就是協變導數；我們凝望著日月經天，它們的角速度里既有李導數（關於地球自轉）又有協變導數（關於天球度量）。

所以李導數是處在運動中而不自知，協變導數是處在彎曲中而不自知。

我當時提的問題，我自己來稍微補充一下吧。簡單說一下它們在物理意義上的區別。

1，協變導數：

對於流形 $M$ 上的張量叢，給定其上聯絡，我們便可以對截面做微分，例如： $abla_XT^{ab}$ 。考慮平直時空 $(M,eta _{ab})$ 和一般的時空 $(M,g_{ab})$ 。其上的Maxwell方程可以寫為：

平直的時空： $partial ^aF_{ab}=-4pi J_b$ ； $partial _{[a}F_{bc]}=0$

一般的時空： $abla^{a}F_{ab}=-4pi J_b$ ； $abla_{[a}F_{bc]}=0$

從這裡可以看出，協變導數就是 $R^n$ 上導數到一般流形 $M$ 上的推廣，一般的導數可以看做協變導數在平凡流形上的特例。有了導數便可以定義parallel transport，進而給出holonomy以及曲率的概念。對於 $R^n$ 也一樣，只不過我們早已習慣了 $R^n$ 上的parallel transport。

2，Lie導數：

Lie導數僅僅依賴流形上的微分結構，我們利用流形 $M$ 上矢量場 $X$ 誘導的單參數微分同胚群 $left{ phi _t ight}$ 來「拉拽」張量場，將「拉拽」前後的張量場做差除以參數 $t$ 取極限，進而得到張量場的Li e導數。例如： $L_XT^{ab}=lim_{a ightarrow b}{frac{1}{t}left( phi ^*_tT^{ab}-T^{ab} ight) }$ 。

相比協變導數，Lie導數的意義在於：它是系統演化或變換時張量場變化率的度量。

（1）系統的演化：考慮相空間 $left( M,omega _{ab} ight)$ ，給定哈密頓量 $H:M ightarrow R$ ，便可得到哈密頓矢量場 $X$ 滿足 $i_{X_H}omega _{ab}=dH$ 。 $X_H$ 誘導出的單參數微分同胚群 $left{ phi _t ight}$ 就是系統的相流，它決定了系統的演化。此時Lie導數定義中張量場的差值 $phi ^*_tT^{ab}-T^{ab}$ ，就是系統演化到 $t$ 時刻與 $t=0$ 時刻張量場的差值，它反映了系統隨時間演化前後的變化情況。相應的Lie導數為零即反映了某個量在系統演化時是不變的，例如： $L_Xomega _{ab}=0$ 。

（2）系統的變換：考慮某個Lie群 $G$ 在流形 $M$ 上的左作用， $G imes M ightarrow M$ ，即對流形上的點 $x$ 做某種變換。 $G$ 的Lie代數 $mathfrak{g}=T_eG$ 中的元素（生成元）決定了 $M$ 上的一個 $left{ phi _t ight}$ 。相應的，Lie導數定義中張量場的差值 $phi ^*_tT^{ab}-T^{ab}$ 即反應了系統變換前後張量場的變化情況。而Lie導數 $L_XT^{ab}=0$ 則反應了該變換下的某種對稱性，由此我們就可以得到相應的守恆量。

例如：經典力學裡相空間 $left( M,omega _{ab} ight)$ 上的辛作用，取 $G=SO(3)$ ， $M=R^6$ 時我們就可以得到我們熟悉的 $R^3$ 中的角動量。取流形 $M$ 為時空 $(M,g_{ab})$ ，相應的 $L_Xg_{ab}=0$ 則反映了時空的對稱性。

The first one is to represent some symmetries (rigid or local) on manifolds, while the latter is the proper description of derivatives on commutative algebras and naturally can be generalized to a more broad class of algebras.

我很贊同張智浩的回答

1.Derivative on $mathbb{R}^n$

求導有 $abla_v f= abla fcdot v$ 關於 v是 $C^infty(mathbb{R}^n)$ linear

2.Lie Derivative

$L_v Y=[v,Y]$ 關於 v是 $mathbb{R}$ linear,

Therefore, it is not a local thing.(depends on the value of v in a neighbourhood, not tensorial)

3.Connection on manifold:

$abla_v X= abla Xcdot v$ also holds.

If we consider $frac{partial}{partial x}$ in $mathbb{R}^n$ 1,2,3 are the same.

For example:

1.Consider levi-civita connection on $mathbb{R}^n$ with respect to cannonical metric. 1,3 are the same where $abla_{xfrac{partial}{partial x}}frac{partial}{partial x}=x abla_{frac{partial}{partial x}}frac{partial}{partial x}=xcdot 0=0$

2.For lie derivative:

$L_{xfrac{partial}{partial x}} frac{partial}{partial x}=-frac{partial}{partial x}$

Hmmmmmmmmmmmmmmm......

Different isn"t it?

我試著從電磁場的規範不變性入手

假設有一復狄拉克場 $psi(x)$ ，並假設系統的拉矢量在做如下變換之後得保持不變，也即

$psi(x)=e^{ialpha(x)}psi(x)$ (1)

這就假設對電子場的沒一點都做一個相轉動，並且每個點轉動的角度都不一樣。很明顯經過以上變換後費米子場的質量項 $mar{psi}psi(x)$ 是滿足的，但是一般拉矢量中除了不含導數的項之外還有導數項存在。

在歐式空間中我們這樣子來定義一個函數沿著某個方向 $n$ 的導數

$n^mupartial_mupsi=lim_{epsilon ightarrow 0}frac{1}{epsilon}[psi(x+epsilon n)-psi(x)]$ (2)

在歐式空間中這樣子定義是毫無問題的，因為在平直時空中我們總可以通過平移把這兩個點連接起來，但是在非歐空間中，這樣做就不靠譜了。

比如(2)式中的 $psi(x+epsilon n)$ 和 $psi(x)$ 在不同的時空點，也就處於不同的希爾伯特空間，因此是沒辦法直接強行平移連接起來的，這裡我們就需要聯絡和協變導數的概念。

首先定義一個標量函數滿足如下的變換法則

$U(y,x) o e^{ialpha(y)}U(y,x)e^{-ialpha(x)}$

當然一般情況下， $U(y,x)=e^{iphi(y,x)}$ ，只是一個純粹的標量相位而已，但它的作用卻很大，可以使 $psi(y)$ 和 $U(y,x)psi(x)$ 之間有相同的變換規則，也就是把兩個不同點的場通過特殊變換之後放到了同一個空間中，因此這個時候就可以定義導數了，但明顯已經不是(2)式中定義的那種導數了，我們稱之為協變導數。

$n^mu D_mupsi(x)=lim_{epsilon o 0}frac{1}{epsilon}[psi(x+epsilon n)-U(x+epsilon n,x)psi(x)]$

其中， $U(x+epsilon n,x)$ 可以展開為：

$U(x+epsilon n)=1-ieepsilon n^mu A_mu(x)+mathcal{O}(epsilon^2)$

這樣一來， $D_mupsi(x)=partial_mupsi(x)+ieA_mupsi(x)$

其中 $D_mu$ 就是協變導數，而電磁場 $A_mu(x)$ 就是聯絡。

接著可以很輕易驗證 $D_mupsi(x)=e^{ialpha(x)}D_mupsi(x)$ ，即帶了協變導數之後的場和原來的電子場具有相同的變換特性。

1. 仿射聯絡（協變導數）：首先得定義聯絡，也就是一種微分的方式，可以看成一個切向量場到T（1，1）型張量場的映射，也可以（在給定切向量場X後）看成兩個切向量場到另一個切向量場的映射（映射後的餘切部分被給定的X共軛掉了），類似於普通的導數的概念，一維情形類比於函數的導數。某一點p處可以看作切向量場（切叢的截面）在p點上某個切向量方向的斜率，是靜態的；

2. 李導數：給定X、Y，Y在X下的李導數也是兩個切場到另一個切場的映射，這個定義得這樣看：在X下，可以誘導局部單參數變換群，這樣任一點p，有一個軌道r（是X在p處的積分曲線，即在軌道上，X（r）=dr/dt），讓Y限制在這條軌道上，所以Y關於X在p的李導數就是Y沿軌道r在p點處關於t的變化率，也就是Y限制在r上無限靠近p時的變化率，某個意義上說是動態的，依賴於軌道，且軌道不僅需要定義p處的切向量還要定義p附近的切向量才能形成。

3. 相等的情形：如果Y是數量場，那麼Y關於X的聯絡和Y關於X的（推廣的）李導數等價。

（以上場均光滑）

額外補一條吧。

如果取平凡線叢 $E=M imesmathbb{R}$ , 並且取平坦聯絡 $abla=d$ .

則此聯絡的協變導數恰為李導數。

事實上，有一個值得注意的關係是李導數和協變導數都滿足超交換法則。

$L_X =iota _Xd+d iota_X, iota _Xiota _Y+iota _Yiota _X=0, [L_X,iota _X]=iota _{[X,Y]}$

$abla_X =iota _X d_ abla+d_ abla iota_X, iota _Xiota _Y+iota _Yiota _X=0, [ abla_X,iota _X]=iota _{[X,Y]}$

而注意到無論李導數還是協變導數，作用在函數上都是一致的，即函數的外微分。

所以利用超交換關係將導數延拓出去後，兩者自然在形式上有極大的相似性。

於是從這個意義上來說，協變導數是李導數的推廣。

巧了，今天看《A students guide to vectors and tensors》正好看到這個，

6.3 The Riemann curvature tensor

P185

Most texts use one of two ways to derive the Riemann curvature tensor:

parallel transport or the commutator of the covariant derivative.

P186

The Riemann curvature tensor falls naturally out of the commutator of the

covariant derivative of a vector. In this usage, 「commutator」 refers to the dif-

ference that results from performing two operations first in one order and then

in the reverse order. So if one operator is denoted by A and another operator

by B, the commutator is defined as [AB] = AB?BA. Thus if the sequence of

the two operations has no impact on the result, the commutator has a value of

zero.

To get to the Riemann tensor, the operation of choice is covariant differenti-

ation. That』s because in a flat space the order of covariant differentiation makes

no difference, so the commutator must yield zero. Any non-zero result of

applying the commutator to covariant differentiation can therefore be attributed

to the curvature of the space.(平直空間AB?BA=0；所以，如果在某些區域里AB?BA !=0，那麼就可以使用AB?BA來衡量那個區域的曲率。)