學習經典微分幾何課有什麼收穫？
經典微分幾何（曲線與曲面的微分幾何）中最有趣有意義的部分是什麼？內蘊幾何性質該怎麼去理解呢？有沒有用微分幾何的知識來巧妙地完成其他數學學科的某些定理的證明呢？真的學懂這一點內容的話，有什麼不得不提的感悟呢？
謝邀。
微分幾何是個很大的領域，我下面講兩個有實際應用背景的問題，幸運的是，我要講的都是R^3中的曲面，也就是人類看得到的。
第一個是極小曲面理論。極小曲面就是固定邊界時面積最小（嚴格說是面積泛函的critical point）的曲面，學過微分幾何的同學都知道由體積的第一變分公式，這個等價於平均曲率為0。所以也可推廣到無邊界的曲面。真正做極小曲面理論是非常困難的（知乎有個做極小曲面的， @石久 可以讓他介紹下極小曲面的數學理論），但是要看到極小曲面並不難。你拿個鐵絲去網肥皂泡就行了。。肥皂泡質量可忽略，自然張成的曲面根據力學原理就是極小曲面。
第二個是Willmore conjecture.這個跟極小曲面有異曲同工之妙。他問的是一個曲面什麼時候Willmore energy最小。這個Willmore energy是平均曲率的平方的積分，是有物理意義的，比如說可以看成細胞膜的表面能量。虧格為0的時候，這個猜想說能量最小的時候就是標準球面。這個事情很早就被生物學家用實驗觀測的方法確認過了，但是嚴格的數學證明，則是遲至201x年的事情。
好吧說要講微分幾何結果講了兩個變分問題。。我來談談什麼是曲面的「內蘊」幾何，說白了核心就是所謂的高斯絕妙定理，Theorema Egregium。
在研究超曲面（codimension 1）第二基本形式時候，我們用到了所謂的單位法向量,這個法向量不在曲面中，是指向曲面外的（而且和如何放這個曲面有關係），因此不是內蘊的。
高斯對於歐式空間的hypersurface發現了下面的定理：
那麼美在哪裡呢？
非內蘊非常直觀的給出了曲面的形狀，內蘊曲率則代表了這個定義只與曲面自身形狀有關，和如何嵌入無關。「Differential Geometry is the study of properties that are invariant up to change of notation.」
局部部分：上指標下指標倒來倒去還有對的可能整體部分：這是啥那是啥雲里霧裡根本想不出來
期末要掛。
經典微分幾何（曲線與曲面的微分幾何）中最有趣有意義的部分是什麼？
答：最有趣最有意義的當屬曲面的微分幾何內蘊幾何性質該怎麼去理解呢？
答：哎呀，這個問題太寬泛了！這個每個人都有自己不同的理解，我的淺薄理解是這樣的：第一次接觸第一基本形式是為了計算弧長、曲線的交角、曲面面積，這些量（帶有度量性質）的計算只要知道了第一基本形式的係數，就可以不用離開曲面（或不用去管曲面在空間中的位置）而進行。這似乎揭示了一點第一基本形式與曲面的內在屬性（有些模糊，可以設想成人的內涵）有關。
真正讓我們對第一基本形式相關的性質（內蘊性質）產生關注的是高斯絕妙定理，這個定理很重要，是許多微分幾何思想的源泉。我們知道高斯曲率是用第二基本形式定義出來的，但高斯給出的證明裡只用第一基本形式的係數和偏導數就表達了高斯曲率，根據第二基本形式定義出來的東西居然與第二基本形式無關，這也是為什麼驚人的原因！這說明第一基本形式和第二基本形式之間應該存在某種聯繫，另外一個值得關注的是高斯曲率是一個不變數（局部等距對應下），也就是說如果曲面的變形不會使得弧長、交角、面積變化的話，高斯曲率不會變化，而我們知道高斯曲率是反映曲面彎曲程度的，竟然與某種變形無關，這也是值得人們注意的！更加重要的是啟發人們去尋找其它類似於高斯曲率這樣的性質，這些性質都只和第一基本形式有關，因此與第一基本形式掛鉤的東西都是值得研究的。有沒有用微分幾何的知識來巧妙地完成其他數學學科的某些定理的證明呢？
答：限於學識不深，這個我只能想到拓撲方面的了（比如龐加萊猜想，還有一個龐加萊的定理：說的是一個緊緻曲面，如果附加一個可微向量場，且只有孤立奇點（根據緊緻容易知道必定只有有限個這樣的奇點），那麼向量場的的總指標數等於歐拉示性數（這是一個拓撲不變數））真的學懂這一點內容的話，有什麼不得不提的感悟呢？答：沒有真正學懂，真的學懂的話，想必感悟會頗多吧！修改看看單復變的幾何理論？
微分了希望，積分了憂傷
非數學專業，選了一次微分幾何，我的一個感受就是，我徹底不可能去做數學家了
我們的法寶是用微積分的辦法研究曲線曲面論
會證明人的頭上為什麼至少會有一個旋
可以求心理陰影面積
高中知識好簡單
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