黎曼流形嵌入歐氏空間的最優維數的研究有進展么？

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我們知道根據納什嵌入定理光滑黎曼流形總能嵌入足夠高維數的歐氏空間。但是這個空間的維數下界卻不像光滑流形的Whitney嵌入那麼好算。我讀本科的時候，聽說我旦的洪家興院士就「曲面何時可嵌入R^3」這個問題研究了一輩子。。可以想見是相當複雜的幾何分析問題。。那麼對一般維數的黎曼流形就應該更複雜了。。

可能近期確實沒什麼進展。自從John Nash在1953/1956兩篇C^1和C^k isometric embedding的文章後，Misha Gromov創立+發展了h-principle，降低了codimension。1989年德國的Matthias Gunther把isometric embedding的方程轉化成了橢圓的，用更簡單的方法進一步lower codimension。提問中提到了洪先生，他有幾篇M2---&>R3的paper，難點在於gauss curvature是非正的，因此用Darboux的方法不能化成橢圓方程。

洪老師、林長壽是研究等距嵌入的專家，看看他們的論文和reference