能否藉助用皮亞諾算術，或者是只使用初等數學方法並藉助反證法證明費馬大定理？

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1637年，法國數學家皮埃爾·費馬在研讀古希臘數學家丟番圖所著的《算術》一書Ⅱ卷第8問題時，在該題頁邊空白處寫下了令世人困惑不解的一則簡短評註:……一般來說，一個次數大於2的方冪不可能是兩個同次方冪之和。用不定方程表示就是 $x^{n} +y^{n} =z^{n}$ （其中x、y、z都是非零整數）。當整數n&>2時此方程沒有正整數解。費馬還稱自己「已有一個對此命題的十分美妙的證明，但這裡空白太小，寫不下。」
此後的350多年間，雖然許多數學家及眾多的業餘數學愛好者試圖解決費馬大定理，並為之絞盡腦汁，但都未得出證明。1995年，懷爾斯用現代數學的方法證明了費馬大定理；此事成為轟動全球的重大新聞。不過他的證明深奧而冗長：用到了模形式、谷山-志村猜想、伽羅瓦群和科利瓦金-弗萊切方法等深奧的數學知識，濃縮的論文達130頁；另外，世界上能看懂其證明的頂級數學家寥寥無幾。這與費馬當時的證明構想相差甚遠。因此，不少人相信費馬大定理應該有一個巧妙且簡易的證明。

想問一下，費馬大定理能否藉助皮亞諾算術（Peano Arithmetic），或者只藉助初等數學利用反證法將其得證？

首先，費馬大定理是在Peano算術的框架內證明的。證明過程複雜不代表這個證明一定超出了建立這個命題所需的公理體系。簡單的公理可以描述相當複雜的數學結構和數學語言。複雜的地方在於技巧，在於工具，而不在於基本邏輯。再複雜的數學證明，也是遵循基本的邏輯法則進行推導的。

順便再提一下，時至今日費馬大定理的證明顯然不是只有幾位頂級數學家能看懂。據說有人把證明過程中的某些步驟出成作業題給學生做。。

然而現在數學界普遍認為，費馬並沒有更巧妙且簡易的證明，他最多能證明n=3和n=4兩種情況！所謂【不少人相信費馬大定理應該有一個巧妙且簡易的證明】應該都不是真正研究數學的人。

有個資料上說，費馬當時大概是以為能用自己的最速下降法證明，然而他考慮欠周全

你先考慮同餘的方法，分支太多；下降的方法，有很多基本引理數學歸納法和單純的等式推導是得不到的

這個所謂的費馬大定理初等證明

只有三種？