如何利用外微分來理解和解決曲線以及曲面積分的問題？

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在學校里有位比較思想超前的教授在上數學分析的時候利用了外微分解釋曲面和曲線積分中的定理。但個人不是特別能夠理解其中的一些步驟。比如微分p形中拉回映射的概念和如何應用；微分1形式的變換和計算方法。
順便問一下是否有必要在學習數學分析的同時把所有的定理都證明一遍？還是先大約了解？

謝邀。

如果只是要知道微分形式的形式計算方法，復旦數分教材有個附錄是講微分形式的，可以看看，不過我印象中我那一屆很多同學都說沒看懂。。或者Arnold的《經典力學數學方法》一書中講微分形式也比較直觀，可以看看，可能是第七章，他就把微分形式當成高維的體積微元，積分看成體積微元的加權求和。

如果要學習微分形式的嚴格定義，那可以看看From Calculus to Cohomology這本書的前三章。我大二上討論班的時候學的這本書。其實這不算什麼思想超前，微分形式都是基礎知識，只能說普通教材講得太淺了而已。。嚴格定義微分形式需要兩塊，一塊是多重（反對稱）線性代數，或者說張量分析，另一塊是切叢、餘切叢的概念，然後你對餘切叢的截面取exterior product就得到了微分形式。對微分形式的積分其實也是在每個坐標卡上積分然後加起來，或者用Stokes定理之類的整體定理。

數分上不會嚴格講微分形式是因為微分形式的嚴格定義需要用到餘切叢等等拓撲和流形理論上的概念，對大一的學生來說太深了。而且對微分形式的計算並不需要懂這些抽象的概念；微分形式就是一個反對稱張量；工科學生不一定知道什麼是切叢，但是他們知道怎麼算張量，知道張量的坐標變換法則，這些對於計算來說就夠了。

卓里奇第二卷

有詳細的講了數分中用的到的有關曲面和曲面定向一些基礎知識，不然連定向的概念都不清楚，就會覺得第一二型積分很不清晰，還有關於坐標系，曲線坐標，微分同胚的內容，加上第一卷直接介紹了一點餘切空間的內容，也涉及一些流形的介紹，所以引出微分形式的積分也算做足了鋪墊。在那一章里，主要從有沒有坐標，介紹體形式，然後定義微分形式上的積分又用微分形式統一了牛頓萊布尼茨，高斯，格林，斯托克斯，曲面定向，拉回映射，定向和諧的所有重要概念，它把第一型的積分定義為有定向，不過定向體現在體形式的定向和諧中，然後次數等於空間維數的斜對稱形式都成比例，直接說明第二型都可以化為第一型，後面也用向量分析統一那些公式，也介紹了流形上的積分。

反正我是看了很久，畢竟卓里奇的翻譯，還有記號都有些不太好接受。。但是弄懂了之後有一種統一的感覺不像之前那種混亂的感覺

這時候就需要安利梁燦彬的微分幾何與廣義相對論了。數學部分並不會講物理，也不需要物理基礎，只需要會一點線代。而且B站還有全套數學輔導視頻，pdf也可以輕鬆下載。

[然而這並沒有什麼卵用。。還是挺累的

想必你也是那位Ming老師的學生吧，我是數學2班深表同感，感覺他的筆記也比較generous，沒有詳細的習題，個人感覺好好去看書理解書本就好了