將雙曲線的定義合理推廣到球面上應該是怎樣的？方程和圖像是什麼樣子的？

球面雙曲線的定義為與兩個固定的點（叫做焦點）的距離差是常數的點的軌跡。

拋物線呢？

http://www.zhihu.com/question/263872644

如果這麼來定義：

定義1：球面上兩點距離為測地線距離。

定義2：球面上的這麼一條曲線稱為球面上的雙曲線，這條曲線上的任意一點到兩焦點的距離之差為一常數。

那麼不算上作圖的話似乎高中階段的知識就能解決吧。

簡單起見就假設兩焦點在單位球面和yoz平面的交線上並且關於xoz平面對稱，球面上任意一點為p，雙曲線上一點到兩個焦點距離之差為2a

p到焦點的距離r為

那麼雙曲線就應該是下面這兩個曲面的交線

至於把上面兩個式子化得像二維平面上雙曲線表達式那麼漂亮這事就超出我的能力範圍了，只能請mathematica暴力畫個圖

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取 ，畫出來長這樣↓↓

看得出來球面趨近於無窮大的時候會退化到平面情形

我來解決拋物線的問題。

定義：到一點和一直線距離相等的點的軌跡為拋物線。

仍然選擇單位球面作為基準。

到焦點的距離為

來考慮下準直線，是一個圓。

球面上，到圓的距離，先求圓所包圍的最小球冠的頂點的距離，再減去頂點到圓的距離。

平面的單位法向量是

所以當C為正數時，圓包圍的最小球冠頂點為

當C為負數時，圓包圍的最小球冠頂點為

但是，其實即使圓所包圍的球冠不是最小的，做減法得到的結果的絕對值仍然是正確的，只不過變成了原來的相反數，所以我們只用考慮C為正數的情況。

先考慮動點和頂點的距離，這個距離是

再來考慮頂點到準線的距離，很簡單，只要動點落在了上面就得到了，這個距離是

因此

兩邊同時進行餘弦運算，展開：

由於 ，因此 ，所以

從而z^2項的係數是正數，因此這個方程表示一個橢圓柱，x軸是它的方向向量。

軌跡，就是橢圓柱與單位球的交線。

特殊情況，在b=0，c=-1的時候，

再繼續化下去，會得到2個圓。

用任意一個過z軸的直線去截球冠和這2個圓，截得2段弧和4個點，這4個點分別是2段弧的4等分點。