怎麼證明這道微積分證明題？

12-31

Putnam 39/B6 solution
提了問題後，找到的官方的解答。

構造函數 $g(x)=frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

於是 $g^{$

存在 $xi_1 in [x,b]$ 使得 $frac{g(x)-g(b)}{x-b}=g^{$

而泰勒展開

$f(a)=f(xi_1)+f^{$

代入即得

事實上這是插值行列式的一個應用，當然也可以把等號左側改為待定常數來構造函數。

中午回來補上解答。

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8/30中午更新

1.構造這個輔助函數就可以 $[Fleft( t ight) = left| {egin{array}{*{20}{c}} {fleft( t ight)} {{t^2}} t 1 \ {fleft( x ight)} {{x^2}} x 1 \ {fleft( a ight)} {{a^2}} a 1 \ {fleft( b ight)} {{b^2}} b 1 \ end{array}} ight|]$ ，剩下的都是簡單的收尾工作。

這個在線代的一部分書上會有，在「定積分的近似計算」那裡。也是這題的背景

2.固定x，令 $[lambda = frac{{fleft( x ight) - fleft( a ight) - frac{{left( {x - a} ight)left( {fleft( b ight) - fleft( a ight)} ight)}}{{b - a}}}}{{left( {x - b} ight)left( {x - a} ight)}}]$

然後構造函數 $[Fleft( t ight) = fleft( t ight) - fleft( a ight) - frac{{left( {t - a} ight)left( {fleft( b ight) - fleft( a ight)} ight)}}{{b - a}} - lambda left( {t - b} ight)left( {t - a} ight)]$

在[a,b]上用兩次羅爾定理就可以了。

這個方法叫「待定常數法」，把含有x的部分也固定為輔助函數的一部分。事實上這個式子略加整理就是拉格朗日插值多項式，同樣可以用在定積分近似計算那裡。（梯形法吧應該是。）

不過比起來，我覺得 @白如冰的做法比較有意思。

依稀記得，我四年前也是會做的……

用中值定理…

冰帶逛系列…