矩陣的指數函數到底說的是個啥？

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如題，

$egin{align*} e^{At}: = I+At+frac{left(At ight)^{2}}{2!}+cdots+frac{left(At ight)^{n}}{n!}+cdots\ impliesfrac{d}{dt}left(e^{At} ight) = A+A^{2}t+frac{A^{3}t^{2}}{2!}+cdotsfrac{A^{n}t^{n-1}}{left(n-1 ight)!}+cdots\ = Aleft(I+At+frac{left(At ight)^{2}}{2!}+cdots ight)=Ae^{At} end{align*}$
我就不理解矩陣的指數函數是個啥。。。
比如 $A=left(egin{array}{cc} 1 1\ 1 1 end{array} ight)$ ,那麼 $e^A$ 是個啥？

謝邀.

首先說exp的計算吧，很簡單，對於（實或復）矩陣A，先把A化成Jordan標準型，也就是

$A=PJP^{-1}$

這樣的話，按照定義， $exp (A)=Pexp (J) P^{-1}$ . 因此只要計算Jordan標準型的exp即可.

而Jordan標準型分塊對角的，每一塊是一個Jordan塊，因此只要計算Jordan塊的exp即可.這裡計算一下就好了.

$expegin{pmatrix}lambda10cdots00\0lambda1cdots00\ cdots\000cdotslambda1\000cdots0lambdaend{pmatrix}= egin{pmatrix}e^lambdae^lambda/1!e^lambda/2!cdotse^lambda/(n-1)!e^lambda/n!\0e^lambdae^lambda/1!cdotse^lambda/(n-2)!e^lambda/(n-1)!\ cdots\000cdotse^lambdae^lambda/1!\000cdots0e^lambdaend{pmatrix}$

Rk. 事實上，因為 $tA=P(tJ)P^{-1}$ ，時常也會直接計算 $exp(tJ)$ ，那麼對於Jordan塊，同樣可以計算

$expegin{pmatrix}tlambdat0cdots00\0tlambdatcdots00\ cdots\000cdotstlambdat\000cdots0tlambdaend{pmatrix}= egin{pmatrix}e^{tlambda}e^{tlambda}t/1!e^{tlambda}t^2/2!cdotse^{tlambda}t^{n-1}/(n-1)!e^{tlambda}t^n/n!\0e^{tlambda}e^{tlambda}/1!cdotse^{tlambda}t^{n-2}/(n-2)!e^{tlambda}t^{n-1}/(n-1)!\ cdots\000cdotse^{tlambda}e^{tlambda}t/1!\000cdots0e^{tlambda}end{pmatrix}$

上面的計算是因為每個Jordan塊可以寫成 $lambda I+J(0)$ ，由於 $I$ 和 $J(0)$ 可交換，因此

$exp(J(lambda))=exp(lambda I)exp(J(0))$

而 $J(0)$ 是冪零的，並且 $J(0)$ 的k次方很容易看出來，所以很好算的.

我說清楚如何計算了嗎？

那麼好，現在說一些理解的問題，在數上面的exp是自然的來自於這樣一個微分方程：

$egin{cases}dot x=lambda x\x(0)=x_0end{cases}$

其解為 $x(t)=e^{tlambda}x_0$ .

而在向量上面，這樣的微分方程也是有的，也就是

$egin{cases}dot x=A x\x(0)=x_0end{cases}$

其中 $x$ 是向量值函數， $x_0$ 是向量. 那麼類似數上面的東西，我們完全可以把這個裡面的解涉及的關於A的那個運算也叫做exp.

但是個人感覺，一個更好的理解方式是函數演算(functional calculus). 這裡直接說復的情形了. 很簡單，就是把冪級數推廣到矩陣上. 矩陣可以加可以乘，而且關鍵的是，可以取極限，因此可以定義冪級數，也就是把 $sum a_nx^n$ 這種東西推廣到矩陣上，定義 $sum a_n X^n$ ，其中 $X$ 是矩陣. 完全類似，可以利用矩陣的範數討論冪級數的收斂問題，類似於用複數上的模去討論收斂半徑. 用這種方法，可以把各種我們能想到的解析函數推廣到矩陣上，例如對於矩陣 $X$ ，完全可以定義 $exp X$ ， $cos X$ ， $sin X$ ，還有 $ln(I+X)$ ， $frac{1}{X-I}$ 等等等. (前面那些收斂半徑是正無窮，但後面兩個就不行了.) 用函數演算可以干很多很多好玩的事情，在此不表……

btw 一般的函數演算是用Cauchy積分定義的，因為那個冪級數未必要在某個圓盤上都有定義，只要在 $X$ 的譜點附近定義就可以了，而後者的形狀未必是規則的.

跟 $e^x=lim_{h o0}left(1+hx ight)^{frac{1}{h}}$ 類似，對矩陣指數函數也有 $e^A=lim_{h o0}(I+hA)^{frac{1}{h}}$ 。一個例子：

考慮常微分方程

$frac{mathrm{d}mathbf{x}}{mathrm{d}t}=Amathbf{x}$

我們知道解為 $mathbf{x}(t)=e^{At}mathbf{x}(0)$ 。如果用前向歐拉法並以 $h$ 為步長，則對應迭代為

$mathbf{x}_{n+1}=mathbf{x}_n+hAmathbf{x}_n=(I+hA)mathbf{x}_nLongrightarrow mathbf{x}(t)=(I+hA)^{frac{t}{h}}mathbf{x}(0)overset{h o0^+}{longrightarrow}e^{At}mathbf{x}(0)$

如果用後向歐拉法並同樣以 $h$ 為步長，則對應迭代為
$mathbf{x}_{n+1}=mathbf{x}_n+hAmathbf{x}_{n+1}Longrightarrow mathbf{x}_{n+1}=(I-hA)^{-1}mathbf{x}_nLongrightarrow mathbf{x}(t)=(I-hA)^{-frac{t}{h}}mathbf{x}(0)overset{h o0^+}{longrightarrow}e^{At}mathbf{x}(0)$

（即 $mathbf{x}(t)=(I+hA)^{frac{t}{h}}mathbf{x}(0)overset{h o0^-}{longrightarrow}e^{At}mathbf{x}(0)$ ）

你已經寫好了關於矩陣的指數函數的定義了，就是那個第一個表達式。

$e^{At}: = I+At+frac{left(At ight)^{2}}{2!}+ ext{...+}frac{left(At ight)^{n}}{n!}+...$

先把那個t忽略掉，這個是指數函數的定義。跟我們定義在實數（複數）域山的指數函數沒有什麼不同，就是將矩陣映射為矩陣而已。

樓上已經有人貼了計算這個映射的象的技巧了，在此就不贅述了。

根據定義就可以了，如果 $A=egin{pmatrix}11\11end{pmatrix}$ ，那麼

$egin{align*} e^{A}=I+A+frac{A^2}{2!}+frac{A^3}{3!}+cdots\ =egin{pmatrix}10\01end{pmatrix}+egin{pmatrix}11\11end{pmatrix}+frac{1}{2}egin{pmatrix}22\22end{pmatrix}+frac{1}{6}egin{pmatrix}44\44end{pmatrix}+cdots\ =egin{pmatrix}1+1+frac{2}{2}+frac{4}{6}+cdots0+1+frac{2}{2}+frac{4}{6}+cdots \ 0+1+frac{2}{2}+frac{4}{6}+cdots 1+1+frac{2}{2}+frac{4}{6}+cdots end{pmatrix} end{align*}$

最後得到一個 $2 imes 2$ 的矩陣，因為 $1+1+frac{2}{2}+frac{4}{6}+cdots$ 是一個收斂的實數級數（根據比較判別法就可以了），所以它是一個實數，但我們一般並不關心這個具體的數值。具體計算可以見 @王箏的方法。

其實就是一種矩陣冪級數的記號，仿照實數或複數的情況。然後，發現這樣的記號滿足少數簡單的指數函數的運算性質。矩陣函數都是這樣推廣來的。能這樣寫，主要是基於矩陣自乘是可交換的，以及收斂性。

但是常用的很多冪指數函數的性質對矩陣情況是不成立的，因為不同矩陣相乘不具有交換性。

用李群李代數的觀點看，矩陣A相當於給出Gl(n)上的左不變向量場（在可逆方陣g處為）d/dt(g*exp(At))｜t=0，那麼exp(At)相當於過單位元I處的一條積分曲線，相當於左不變向量場積出來的單參數子群。這樣看幾何一點。

題目太抽象，你問的是exp(A) 裡面的A是個矩陣的話整個表達式的含義么？

當A是個有限方陣時，A中的元素是取自C或者R，（完備拓撲域），可定義A的模（norm），使得，所有方陣的集合構成一個線性完備拓撲空間，也叫巴拿赫空間（Banach），然後exp(A) 定義為相應的級數，如果級數依照前面定義的模收斂那麼這個表達式是有意義的，結果是一個矩陣

數學上前面應該已經解釋的差不多了，我可以補充一個實際用到矩陣指數的例子。文獻可戳

http://iopscience.iop.org/0034-4885/65/2/203/pdf/0034-4885_65_2_203.pdf

簡單說來就是如果有一個處於平衡態的化學反應

$ALeftrightarrow B$

A到B的反應速率常數為 $k_{ab}$ ,B到A的反應速率常數為 $k_{ba}$ ,A，B各自的擴散係數均為 $D$ 。

那麼對於相對整個反應體積(比如一個100mL燒杯)而言無限小的一個局部範圍，其物質A與物質B的局部濃度漲落的方程組可以寫為：

$frac{partial delta C_{a} }{partial t}=-DDelta delta C_{a}-k_{ab}C_{a}+k_{ba}C_{b}$

$frac{partial delta C_{b} }{partial t}=-DDelta delta C_{b}+k_{ab}C_{a}-k_{ba}C_{b}$

寫成矩陣形式即為

$frac{partial }{partial t} left[egin{array}{ccc} delta C_{a}\delta C_{b}\ end{array} ight]=left[ egin{array}{ccc} -D-k_{ab}k_{ba} \k_{ab}-D-k_{ba} \ end{array} ight]left[ egin{array}{ccc} C_{a}\ C_{b}\ end{array} ight]$

求解這個方程，就會遇到矩陣函數，求解過程完全反映前面王箏的答案，也可以從這個具體的例子中體會矩陣指數的意義。

我們來弄清楚兩個問題：

第一矩陣函數的定義是什麼？

第二矩陣函數的微分的定義是什麼？

這兩個問題清楚後，我們就會明白矩陣的指數函數及其微分是什麼了。

矩陣的函數定義為矩陣中每一個元素的函數：即

$f(A)_{ij}=f(A_{ij})$

例如 $A=left[ egin{matrix} 1 0 \ 0 1 end{matrix} ight]$ , $f(A)=2A=2*(A_{ij})=left[ egin{matrix} 1*2 0*2 \ 0*2 1*2 end{matrix} ight]=left[ egin{matrix} 2 0 \ 02 end{matrix} ight]$

而矩陣微分的定義為矩陣中每個元素的微分：即

$(frac{partial A}{partial x})_{i,j}=frac{partial A_{ij}}{partial x}$

例如 $A=left[ egin{matrix} e^{x} 2x \ 0 1 end{matrix} ight]$ ， $(frac{partial A}{partial x})_{i,j}=(frac{partial A_{i,j}}{partial x})=left[ egin{matrix} frac{partial e^x}{partial x} frac{partial 2x}{partial x} \ frac{partial 0}{partial x} frac{partial 1}{partial x} end{matrix} ight]=left[ egin{matrix} e^{x} 2 \ 00 end{matrix} ight]$

知道了矩陣函數及其微分的定義後，題主關於矩陣的指數函數的定義與形式迎刃而解。

我記得上面回答的都是時域的方法，

求fan＝exp（F＊t），還有一個頻域方法是

L-1是拉普拉斯反變換

（上面這個是卡爾曼濾波中連續方程離散化的式子）

本質是矩陣冪函數的擴充，你可以把泰勒展開中的某某次方想像成矩陣連乘即可。

具體的指數函數都可以從指數映射來考慮。

對於一般實線性群GL(n,R),關於矩陣乘法是個李群，I是其中的單位元，它的李代數是gl(n,R)是n×n實矩陣全體。

對於任意X∈gl(n,R)

設exp_{X}(t)是它的積分曲線，

可以推得

(d(exp_{X})/dt)_{t=s}=exp_{X}(s)X

(d(exp_{X})/dt)_{t=0}=X

這兩條性質，

我們定義這個映射為關於矩陣的指數函數，並可由此推出它的級數形式的表達式。

你需要閱讀《工程矩陣》中矩陣函數一節

誰能告訴我為什麼指數矩陣的值就是指數矩陣的軌跡嗎，怎麼證明呢