求問var 與cvar的區別與比較？

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j.c.hull的《期權期貨及其他衍生產品》一書中，說var是關注「情況會變多糟糕」而c-var關注「當最糟糕發生時我們預計有多少損失」兩者邏輯區別是什麼？是不是說cvar默認了糟糕情況已發生？這種區別體現在公式里是怎樣的？求解答

看到有評論說VaR是方差，CVaR是協方差，也是醉了，簡單科普兩句。

VaR,Value at Risk 在險價值；CVaR,Conditional Value at risk 條件在險價值，又被稱作Expected Shortfall。

比如假定一個資產的standardized returns是服從正態分布的，那麼對應的VaR就是：

而CVaR 或者說Expected Shortfall要回答的則是這個：

那麼我們根據truncated normal distribution的相關知識可以推導出CVaR的精確表達式：

我上面推導的是最簡單的情況，假設standardized returns服從正態分布，而現實當中並非這樣。

（參見我的另一個回答什麼時候基於VaR的Cornish-Fisher估計比高斯VaR的估計更精確？ - 陳斯的回答）

如圖所示，現實當中並不是正態的。如果我們構造一個函數衡量CVaR和VaR的Relative difference：

我們大致會看到這種情況

隨著standardized returns峰度的增大，(CVaR-VaR)/VaR上升。

舉個例子，假設在99%置信度下真的發生了損失超過VaR的情況，如果收益率是服從正態的，那麼這種情況下，(CVaR-VaR)/VaR=15%；而如果分布的峰度比正態分布的大，情況則會更加嚴峻。

最後作為衡量風險的指標VaR是不滿足一致性的，而CVaR則滿足一致性。

var就是value at risk, 考慮某一置信度下可能發生的最壞情況. 公式的話:

normal : -mu + sigma*z

lognormal: 1-e^(mu - sigma * z)

var的一個問題是他不考慮超過該置信度後的損失情況(severity of losses in the tail of the returens distribution)

ES有兩好, 1:考慮了超過Threshold的損失情況 2subadditive

此外還減輕了對於選擇特定置信度可能帶來的影響

ES就是probability-weighted expected tail loss.

計算過程就是把tail分成n等分,計算相對應n-1分的var然後求期望.

frm notes給的例子(n=5, normal distribution):

confidence interval: 96% 97% 98% 99%

var: 1.7507 1.8808 2.0537 2.3263

average: 2.003

還有用POT計算var的

expected shortfall is viewed as an average or expected value of all losses greater than the VaR. It gives an insight into the distribution of the size of losses greater than the var.

es=var(1-xi)+(beta-xi[u])/1-xi

上午數理金融課報告，剛做完var 與cvar的報告，謄寫一下。

三個部分進行介紹一下：

例如，某一投資公司持有的證券組合在未來24小時內，置信度為95%，在證券市場正常波動的情況下，VaR值為520萬元，其含義是指，該公司的證券組合在一天內(24小時)，由於市場價格變化而帶來的最大損失超過520萬元的概率為5%。

或者說有95%的把握判斷該投資公司在下一個交易日內的損失在520萬元以內。5%的幾率反映了金融資產管理者的風險厭惡程度，可根據不同的投資者對風險的偏好程度和承受能力來確定。

由於Var的定義，會存在瘦高肥尾巴情況無法正確估計，所以我們提出了CVar的概念：

數學推理公式沒有編輯出來，直接寫在了黑板上，推薦兩篇論文（CNKI可下載）：基於條件風險價值（CVaR）投資組合模型的分析及應用趙春峰西南財經大學2009-11-01碩士

基於擬蒙特卡羅方法的VaR計算及其在中國股市中的實證研究李擎復旦大學2013-03-26碩士

關於蒙特卡洛模擬推薦知友 @fly qq 蒙特卡洛樹是什麼演算法？的答案；

最後，運用VaR或者CVaR與馬科維茲模型進行組合，增加限制函數，進行優化得到優化後的效用前沿，可進行投資組合的優化：

基本這樣，報告準備過程中感謝莫老師通力合作，以及凱文和安迪兩位博士分別就代碼和數學部分進行了的不厭其煩的解惑。

簡單來說 0.95 var 衡量的是95% 裡面的loss

而0.95 cvar衡量了96%-100%裡面的loss

假設你loss 分布為1、1、........1、1、9999999999999

最後一個99999999 var是很有可能觀察不到的

但是cvar可以

Var(b) is the point that makes

Prob (LOSS&<= Var(b))=1-B works

var is the maxmum value makes Prob (LOSS&<= b)&<=1-B

but var is based on the assumption that it follows normal distribution, itdoes not provide information for extend of worst case losses( a long tail)

it does not account for properties of the distribution beyond

the confidence level

Cvar is the conditional value at risk,it calculate the average of the losses that occur beyond the VaR cutoff point in the distribution

E(LOSS| loss&<=var(b))

c var其實就是計算 var（b）點左邊下方區域的面積（continous的情況下）

Cvar is better than Var in most case

since

CVaR is more sensitive than VaR to estimation errors

2. CVaR accuracy is heavily affected by accuracy of tail modeling