如何直觀理解辛幾何？

作為微分幾何的一個分支，目前除了哈密頓力學之外辛幾何是否還有其他應用？其本質是什麼？如何直觀的理解辛幾何？

學過一點，稍微講講，不對請指正。

symplectic structure的一大特點就是沒有局部不變數，所以是一種更全局的幾何，與拓撲的聯繫會更緊密。

目前在低維拓撲，特別是四維光滑流形的研究中，symplectic 4-manifold是非常重要的。在所有的四維流形中，一類結構最多性質了解的最清楚的是Kahler surface，而symplectic 4-manifold與kahler surface相比沒有復結構，可以看成是站在smooth 4-manifold與kahler surface中間，聯繫兩者的一類流形，很多kahler geometry中的構造和方法可以發展到有almost complex structure的symplectic 4-manifold上面，進而發展到smooth 4-manifold上面。一個例子是Donaldson的發展的symplectic lefschetz pencil，可以拿來在symplectic 4-manifold上面定義微分不變數。這個是我最近在學的東西。

另外symplectic geometry是mirror symmetry的一個重要部分，但這方面我完全不懂，就不亂說了。

至於直觀的理解就不太有，畢竟大家對於symplectic structure的了解也不全面。Symplectic geometry中有個很有趣的現象是nonsqueezing theorem，揭示了它與黎曼幾何的一個很大不同。

Jean Gaston Darboux"s_theorem

辛幾何不是什麼微分幾何的分支，你不懂不要胡說八道。辛幾何，代數幾何和微分幾何是平行的三個數學分支。這是因為大部分人對微分幾何的理解是很狹隘的，而中國大多數做微分幾何的人也不了解辛幾何。

什麼Hamilton力學之類的玩意兒都是老黃曆了，一開口就問本質明顯是外行。要想理解一門學科，就要既能直觀理解，又能抽象理解，為什麼一上來就先要直觀理解？對自己的要求是不是太低了？

許多人自己學辛幾何，一上來看到定義就懵逼了，因為除了個non-degenerate closed 2-form之外什麼都沒有，這個2-form甚至不必positive-definite，也就是說不必是個metric，簡直不知道是什麼意思。這也是我本科時候最早看到定義的反應。

實際上，要真正理解什麼是symplectic manifold，就得理解什麼是Kahler manifold，這和Gromov對現代辛幾何的革命性想法也是一致的。因為辛流形上最重要的結構並不是定義里出現的辛結構，而是隱蔽在背後的近復結構。Gromov關鍵的觀察之一是：和辛結構compatible的近復結構是大量存在的，以至於你可以非常自由地perturb它而不影響某些非線性微分方程定義的不變數。假如這個近復結構可積，就得到Kahler流形。

假如沒有這個近復結構，那麼辛幾何永遠也不會成為一個學科，因為這種幾何結構看起來過於flexible，根本就沒有研究它的工具。而近復結構恰恰提供了發展分析工具所需要的那一點點rigidity。這就是Gromov的偉大之處。

最具體的symplectic manifold的例子當然是symplectic vector space，這時的辛幾何就是一些線性代數。

稍微複雜一點的是symplectic toric manifold/orbifold，這在代數幾何上有個平行的理論，就是toric variety。在abelian Hamiltonian action情形，最重要的結果當然是Atiyah-Guillemin-Sternberg證明的moment polytope convex，這個結果告訴你toric manifold的研究可以reduce到跟 中的polytope相關的組合數學，這跟toric variety的理論完全是一致的。

再複雜一點的情況是symplectic manifold上有自然的fibration。最常見的是Lagrangian fibration和Lefschetz fibration。

上面所講的toric manifold就可以視為Lagrangian fibration的特殊情形：在polytope的faces上，fiber是degenerate tori，而其他fiber都regular。更複雜的Lagrangian fibration會involve singular fiber，singularity可能非常複雜。而SYZ的猜想說，所有 的辛流形上都有Lagrangian torus fibration。雖然這個猜想基本上不可能被證明，可是Gross-Siebert發現，和確實存在Lagrangian fibration的情況一樣，要理解這類symplectic Calabi-Yau manifold的幾何也可以通過reduce到一個half-dimensional的singular affine manifold上來實現（上面所舉toric manifold的例子中，convex polytope就是一個affine manifold with corners）。也就是說，就算我們找不到fibration，還是可以通過一些複雜的代數幾何技術（toric degeneration）來找到所需要的combinatorial data，而這些combinatorial data就是SYZ猜想中假想存在的虛擬的Lagrangian fibration所應該給出的。這就是所謂的Gross-Siebert program。因此，SYZ猜想本質上是說，任何一個 的辛流形的幾何學本質上和toric manifold差別不大，都可以reduce到組合數學。

辛流形上Lefschetz fibration的定義又要依賴於上面的almost complex structure。和代數幾何版本的Picard-Lefschetz理論一樣，是想用一個holomorphic Morse function（辛幾何情形是關於近復結構 holomorphic）來extract流形的real data。在代數幾何情形，這是一種理解代數簇的拓撲的方式，而在辛幾何情形，這是理解辛拓撲的一種有效方式，因為現在fiber都是symplectic hypersurface，而vanishing cycle都是Lagrangian submanifold。Lefschetz fibration所能給出的具體信息包括一個distinguished basis of Lefschetz thimbles（可以在base 上畫出來，就是一族從critical values出發，具有公共endpoint的曲線）和total monodromy。這時流形的幾何也可以reduce到一些組合數學來研究。只不過和Lagrangian fibration情形不同，這時involve的東西是mutation和braid group action。這個理論背後也有相應的來自mirror symmetry的猜想，就是Kontsevich說，對於 的複流形，它們的mirror應該是Landau-Ginzburg model，而最簡單的Landau-Ginzburg model就是Lefschetz fibration。

和Lefschetz fibration情形類似的對辛流形的幾何學的組合數學描述可以被推廣到其他symplectic fibration上，比如Lie algebra 上的adjoint quotient map，它是個Morse-Bott fibration且critical locus的normal bundle滿足很好的性質，這時就可以定義所謂的relative vanishing cycle。Seidel和Smith通過研究nilpotent slice的辛幾何重新定義了Khovanov homology。容易理解，雖然他們的做法和Khovanov完全不同，但是背後所包含的組合數學卻是一致的。

Symplectic fibration和Lagrangian fibration的本質區別是：前者基本上是用complex fiber來foliate流形，因此重要的是它所帶來的real data，即fiber里的vanishing cycles；而後者是用real fiber來foliate流形，因此重要的是它所包含的complex data，這就是為什麼我們往往要count Lagrangian fiber所bound的holomorphic disc。這兩種想法在辛流形是cotangent bundle的情形是可以被統一在一起的，詳情見：[0705.3450] The symplectic geometry of cotangent bundles from a categorical viewpoint。

能講的東西還有很多。作為我而言，我是一個非代數幾何學家，直觀理解幾何是我所擅長的事。俗話說細水長流，學問不可能一天兩就傳授給你們，今後有機會再慢慢說吧。