代數拓撲 微分拓撲 微分幾何 代數幾何 交換代數 微分流形？
為什麼
並不能理解什麼叫做樓主所說的配對。我簡要談下我對於上述所列名詞的理解。
1.代數拓撲，所謂代數拓撲粗糙的說就是用（同調）代數的觀點去研究拓撲學，給予每個（特定的）拓撲空間以一些代數的不變數，用以（在拓撲意義下）分類不同的空間。這個領域是上世紀上半頁非常活躍的領域。通常能划進這個領域的有同倫理論，同調以及上同調理論，示性類理論，以及某種意義上的拓撲K理論，配邊理論等等。
2.微分流形，它只是一個研究對象，通常來說我們不把它作為一個有效的方向區分。一個微分流形就是在流形這一拓撲結構上有某種富結構（微分結構），這種結構可以用來進行類似於歐式空間上做微積分的運算。
3.微分幾何，微分幾何在廣義意義下可以泛指用類似於微積分的研究方法去研究微分流形的一切方式。然而通常來說它有一套標準的語言，那就是微分形式，例如聯絡和曲率張量等等，有時候它也繼承了一些代數拓撲的方法（以微積分的方式，如De Rham 上同調）。
4.黎曼幾何，黎曼幾何是指黎曼流形的幾何學。黎曼流形就是微分流形上再附加一個富結構（黎曼度量），因此研究它我們所用的方法可以是完全繼承自前述微分幾何的研究方法。因為上面有了度量，因此我們也可以做一些關於度量（相容）的幾何，例如幾何分析（就是一些估計）。也因為有了度量的限制，所以上面一些結構可以更確切的意義下確定下來，如 Levi-Civita 聯絡。
5.微分拓撲，微分拓撲，在某種程度上來說，就是在研究一個微分流形上的可微函數（並以此來研究流形的拓撲性質）。因此它和代數拓撲的關聯度其實有限，只是說代數拓撲的一些東西能用在其中。而其中的一些重要理論，如Morse理論是很難出現在代數拓撲里的。
6.交換代數，這個和上面說的東西幾乎八竿子打不著。交換代數的主要研究對象是交換環和上面的代數。雖然這種代數結構中會出現在上面的某些研究中，但是其相應的代數性質通常都不是研究的重點。
7.代數幾何，代數幾何是一個非常寬泛的概念，至少從現代的意義下來說，它和上述所有領域都或多或少有著一定的關聯，但是又相當不同。從古典的意義上講，代數幾何研究的對象是一些多項式方程組的零點集的性質，因此它不僅能關聯到流形概念（比方說多項式定義的超曲面），還能關聯的數論（比方說丟番圖方程）。從現代的意義上來說，它研究的對象是帶有相應的富結構（結構層）的拓撲空間，並且在局部可以由一些交換環的譜給出。目前代數幾何活躍的領域有復代數幾何（由於GAGA，這和復幾何有很高的相似性，但是代數幾何可以處理奇點），算術代數幾何等等，從方法上分類則主要有雙有理幾何，模空間，算術理論等等。
----------------------分割線-----------------------------提問者修改了問題，有鑒於新的問題和之前的表述關聯性很小，因此我打算另立一段。在開始寫之前，我首先說明，不建議在沒有指導的情況下自學上述大部分領域，額，除非你很厲害，或者你想體驗下民科是怎麼樣練成的（純黑一下，請不要當真）。然後請不要試圖很快地學完所有的領域，貪多嚼不爛。關於怎麼區分，上面大致上也可以看成怎麼區分，因此不再贅述。課程順序。這是一個很難講的問題，因為沒有一個課程有著嚴格的先修課程，一個課程應當有怎樣的預備知識通常僅僅取決於老師們的教法或者相應教科書的寫法（例如是否自洽等等）。我下面僅僅是提一下上述課程通常可能需要用到的知識。代數拓撲：點集拓撲，然後就沒了。因為一般代數拓撲教材都要從很基礎的講起，基本零門檻，如果覺得過度有難度考慮拿Armstrong的基礎拓撲學過渡。
微分幾何：多元微積分的基本知識，一點拓撲學，其他都不是必需。黎曼幾何：實質上和上面一樣，這兩個學起來實際上非常像。微分拓撲：知道微分流形的概念實質上就夠了，知道流形上同調上同調理論更好。交換代數：抽象代數足以。代數幾何：看你切入的角度，可以從多復變、復幾何進入，也可以從交換代數進入，甚至於可以從復射影幾何進入。最後，上課的順序不是死的，雖然通常來說可能有些前置課程的要求，但是缺什麼補什麼也是一種重要的能力。代數拓撲、微分拓撲、微分幾何這三個放在一起講，代數拓撲就是用代數的手法研究拓撲性質，後面兩個勉強也是類似的。拓撲的結構比較粗（連續就可以了），所以用代數的方式來研究比較適合。所謂幾何就比較細（映射要是
代數拓撲：
如何用群去衡量拓撲不變數。
--------------- 微分拓撲：這個是個大分類，可以看做是包括微分幾何、代數拓撲。主要是研究如何將局域性質（differential)與全局性質（topology）聯繫起來。------------------- 微分幾何：如何利用度規去表示任意坐標變換下的不變數。------------------代數幾何：（這個太大了，有很多角度，可以淺顯，也可以抽象到死）
初衷是如何把多項式方程與幾何對象聯繫在一些。------------------- 交換代數：研究環和理想的各種性質（從而得到對應的幾何對象的性質）----------------- 微分流形：就一個可微的流形，這是個載體，需要在上面加各種不同的結構。按照大的方向分類上訴你提到的分支大致可以這樣分：代數：代數幾何
幾何：黎曼幾何，微分流形
拓撲：微分拓撲，代數拓撲（我的觀點中代數幾何隸屬於代數分支。）簡單地說這幾個分支的研究對象：代數幾何：古典代數幾何研究一族多項式的零點集(Variety，譯為簇或多樣體)。現在代數幾何已經上升到難以科普的地步了。黎曼幾何：聯絡和曲率在其中扮演了非常重要的角色，曲線曲面的微分幾何內蘊地推廣到高維時不可避免地引入了微分流形，在微分流形上研究幾何就不可避免地引入了不同的曲率空間，進而成為了黎曼幾何的研究工具和研究對象微分流形：在很多分支中這隻能算得上預備知識，比如上面的黎曼幾何整個框架是建立在流形上的。Alternatively，還有一個拓撲的版本，拓撲流形，這就是下面的拓撲學所研究的範疇。微分拓撲：簡而言之，用微分的觀點看拓撲。比如很重要的Sard定理，Hopf指標定理，Morse理論等等。代數拓撲：拓撲學的基本問題是給拓撲空間分類，而代數拓撲的方法是給拓撲空間賦予一些代數不變數，在最早可能只是數，後來演變成群（同調群，同倫群），之後會出現環，代數（上同調環），還會出現新的理論來發展不變數的工具，如配邊理論，拓撲K理論等等。其次我是想問這些課的的順序是怎樣的？（就是先上什麼再上什麼。。。）以及都需要什麼知識儲備就可學習了？
順序有先有後，關鍵是看參考書的深淺。比如代數幾何的入門書，既有Reid的undergraduate algebraic geometry，也有Hartshorne的GTM52，你要看Reid的，基本不需要基礎就可以讀，但你要看GTM52，最少也要有一部分的交換代數知識。所以這個問題最好的問法是 哪些參考書可以較容易地了解到這個分支的概貌。【概貌最深遠可能也只是20世紀前半葉的一些發展】
當然了話說回來，一門課程仍舊是有一系列進階課程的，大致我了解的一些：
代數拓撲：點集拓撲不必學很多，代數拓撲里的空間都算是比較「好」的空間，不會出現太過怪異的空間。 代數拓撲一般書有兩種不同的approach，一種講同倫論，一種講同調倫。當然同倫論比較困難需要的工具也多些，先列同調論需要的預備知識，（很多預備知識都可以在學習這本學科時再補，不是非要學完預備知識才可以開始學新的東西），抽象代數免不了，群環域模都需要接觸，有範疇論的了解更好，當然同調代數了解些基本內容更是好上加好，另外的東西就沒有什麼啦。【這只是代數拓撲入門的東西，這裡沒有提到向量叢，示性類，配邊環等東東，那些就需要很多代數拓撲本身的預備知識了】
代數幾何：同樣需要了解點集拓撲，也需要了解微分流形。更為關鍵地是了解交換代數，若選擇GTM52，網上一搜有很多這本書如何看的文章。若選擇別的approach，那就看那本書推薦的讀法好了。 這裡僅推薦一本很薄的小冊子，Smith的 《代數幾何入門》。像日本人寫過一些不錯的代數幾何入門書都可以看看，Kenji啊之類的，順道說一句，Kunz的也不錯，另外善用Google，lecture notes有時比教科書看得更舒服一些，比如Milne blabla
黎曼幾何：雖然自己不是專門學幾何，但是為了複習qualify，還是學了幾章黎曼幾何初步，所以這裡也只是「初步」的看法和建議。首先如上要學點集拓撲啦，接著就微分流形，國產的書怎麼說呢，陳省身的有點難對於初學者，而別的也不是非常形象。推薦Hirch的講義好了，Google一下你就知道，另外John Lee的光滑流形導論，足夠厚足夠預備了。黎曼幾何我想還是有很多不錯的教科書，像Peterson，Carmo等等，還有Kobayashi，日本人真是無處不在...有本按照微分幾何的歷史介紹黎曼幾何的，忘了誰寫的了...總之好幾本夠讀好久了。
群表示論：學完基本的抽象代數就可以學，再外加一點非交換環理論。
同調代數：同樣抽象代數學完再加一點模論就可以了
李群：有微分流形基礎差不多可以學
其他俺也不清楚了
基礎數學的一個分支的進階課可以有超級慢的方式，也可以有超級快的方式，比如我僅了解的一丁點東東
classical algebraic K-theory
慢節奏：
代數知識：線性代數-{抽象代數-Galois理論}-{模論-範疇論-交換環論-同調代數}-{非交換環論與表示論}
幾何與拓撲知識：{（仿射）射影代數簇-概型}-{同調論-同倫論}-{纖維叢-示性類}
分析知識：泛函分析-{Banach代數-C^*代數}
數論俺不懂 o(╯□╰)o
之後可以看專業書了
Milnor-Rosenberg的GTM系列-Srinivas-Karoubi等等-Paper
快節奏：
Weibel The K-BOOK- Handbook of K theory-Paper
（每一步再把慢節奏的預備知識補起來...）
總之就是一個先學預備知識再學專業知識 和 邊學專業知識邊補預備知識 的過程。
或者這樣簡單的說，代數上先學習抽象代數假設學了群環域，那麼這些東西是顯然不夠的，所以需要進一步擴廣，比如群，你可以加一些表示論（其實表示論就是群在集合上作用推廣，至少可以簡單這樣理解，涉及無限群的就。。。），當然這裡面重要的應用了特徵標這樣一個東西。至於環，完全可以了解一下交換代數，在單位環是做一些推廣，分式化局部化，包括准素分解等等。當然這些東西依靠一大部分的模論以及函子的語言。至於域，就可以理解galois理論，理解擴域與galois群之間的對應關係。所以完全可以把這些東西放在一本書里，不過如果寫明白了那一定很厚。 至於下面的可以學習點拓撲，代數拓撲，再去涉及同調論。這些東西涉及在拓撲上的應用。 另一方面就是幾何上，微分流形和黎曼幾何，這些東西我也沒讀怎麼樣，所以也沒什麼好說的。。。創建於 2015-07-17
知道這些在我看來基本沒多大用處， 你直接指定你說的一個， 然後找書來讀， 讀不懂的地方去查需要什麼知識，去補。等你讀完一兩門， 你的問題基本就不是問題了....
開始看了，就自然找到順序了。定義畢竟都是有來源的。。。
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