請問float的最大值是怎麼來的？

12-31

根據api上寫得，float的最大值是(2-2^-23)·2^127，我想知道的是這裡為什麼不是2^128，而要先減去一個2^(-23)？

因為有隱藏位（hidden bit），最大的 mantissa 值為二進位 1.111...（小數點後23個1），所以是 2-2^23。

float為4位元組變數，即有32位。以向量形式表示： $[x_{31},x_{30},...,x_1,x_0]$

其中 $x_{31}$ 為符號位，0表示為非負數，1表示為負數。暫記為s(sign)。

$[x_{30},x_{29},...,x_{24},x_{23}]$ 這八位為指數位，暫記為exp.

$[x_{22},x_{21},...,x_1,x_0]$ 剩下的23位為小數位。記 $M=1.x_{22}x_{21}...x_{0}$

那麼這32位如何表示某一數字呢？

$n=(-1)^sM2^{exp-127}$ 。

（至於為什麼是這個樣子表示的…… 去問IEEE叭）

所以最大的float值在機器中表示為：0111111111...1111。

對應的M為1.1111111111111111111111（小數點後面23個1），對應的十進位值便是(2-2^-23)。所以float的最大值是 $(2-2^{-23})cdot2^{127}$ 。

（不知道自己表述清楚了沒，再放一張CMU的15213課件幫忙理解叭：）

IEEE的浮點標準規定階碼欄位在規格化值區域的編碼要減去一個偏置，這個偏置的大小是2^(k-1)-1，這裡的k是階碼欄位的長短。

之所以要減去這個偏置是為了擴大浮點數在表達比1小的數的範圍內的精度。因為frac欄位的值一般是大於1的，而階碼欄位的編碼是無符號數，也即指數部分大於等於0，無法表示比1小的數。非規格化區域內也是一樣，要減去一個偏置。

總之能用來表示的排列組合是確定的，最大值變小的結果自然就是表示範圍內的數值有了更多的可能，更加精密。

階碼8位規格化的情況下最大為254 ，減去偏置值127後為127 即為2的指數。而後面最多23個1再加上前面的隱藏1，所以2-2^-23。符號位取正。所以最大就是你所寫出來的（2-2^（-23））x 2^127。

上個圖你應該會很清楚了

CSAPP第二章浮點數。

應該可以直接跳到這一段看。

IEEE 754 CSAPP第二章講的非常詳細