什麼是Gromov Hyperbolicity？

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最近在讀有關graph curvature的文章時，有個概念叫做Gromov Hyperbolicity。不理解這是怎麼回事。能否深入淺出的講講Gromov Hyperbolicity。文章如下：
1.Large-scale curvature of networks
2.Embeddings of gromov hyperbolic spaces

3.Hyperbolic groups

Gromov hyperbolicity應該是最廣泛的一種hyperbolicity。原因在於Gromov對Riemann幾何的看法是非常奔放的：他認為一族Riemann流形可以收斂到一個singular space，也可以collapse到一個更低維的空間，還可以考慮無窮維的Riemann流形，即Banach流形。這三個想法都導致了微分幾何的重要發展，比如第一個想法導致了Cheeger-Colding理論，後來被Donaldson等人用來研究Kahler-Einstein度量；第二個想法導致了Calabi-Yau fibration上Ricci-flat度量的研究，可以用到mirror symmetry上，也可以用來構造非緊Calabi-Yau流形上的exotic Calabi-Yau metric；第三個想法用於構造非線性PDE的解的模空間，這對於他的holomorphic curve理論是關鍵的。總之，在他的觀念里，度量空間是Riemann流形的極限。

既然在Gromov看來，Riemann幾何不應該只研究Riemann流形，還應該推廣到一族Riemann流形自然生成的度量空間上，那麼把Riemann流形中存在的概念推廣到度量空間上就是很自然的做法，Gromov hyperbolicity就是這個哲學下的產物之一。既然要實現對度量空間定義hyperbolicity，那麼就不能依賴於曲率，而只能用關於度量的不等式。這個定義依賴於度量空間上的4個點在直覺上也是可以理解的：因為要讓每個三角形的內角和小於180度，就需要另一個base point來描述度量應該滿足的條件。

據我所知，Gromov hyperbolicity最早的應用之一在於描述負曲率Riemann流形的基本群上的結構，它們在Gromov意義下是hyperbolic group。

另一個重要應用是證明 $mathbb{P}^2$ 的Cremona group不是simple group，這時候需要處理一些無窮維的hyperbolic space。兩周前有個法國美女來講過她的工作：https://www.math.univ-toulouse.fr/~alonjou/recherche/nonsimplicite.pdf。我看她太性感了，沒怎麼聽進去。