如何評價陳省身的數學成就？

12-31

陳省身先生說過：「數學做不出就推廣」［＊］。不難發現陳先生是一個推廣大師。
就拿他最出名的兩個工作來說吧。陳先生將高斯－博內定理推廣到了高維。結論還不完全是新的：超曲面的情形魏伊等已給出證明。而示性類的概念也早已出現，龐特利亞金等有在實流形上的工作，陳先生推廣到複流形。於是有了陳類。

就連陳先生晚年鼓吹的Finsler幾何，也是對黎曼幾何的直接推廣。不過Finsler幾何好像一直沒人care。
那麼，這些推廣工作真有那麼厲害嗎，還是陳先生的數學成就在國內被誇大？

陳先生為人慷慨大方，善於提攜後輩，行政能力強，這些世所公認。這裡僅討論陳先生的數學成就。
［＊］出自「陳省身與中國數學」，南開大學出版社

我在本科時候就看過陳先生大多數的重要論文。不得不說，他的工作都是在做同一件事。Gauss-Bonnet的證明關鍵一步就是transgression，這個東西後來又被炒了多次冷飯。

比如Bott-Chern在value distribution上的工作。因為複流形上有兩個微分運算元， $d$ 和 $d^mathbb{C}$ ，所以可以講什麼叫double transgression。具體做法就是找一個homotopy equivalent to unit tangent bundle，但是又具有復結構的纖維叢，比如punctured ball bundle $mathbb{B}^ast(E)$ ，然後用bundle map pull back top Chern form，得到 $pi^ast c_n(E)$ ，其中 $E$ 是相應的holomorphic vector bundle，然後考慮方程 $dd^mathbb{C}eta=pi^ast c_n(E)$ 的解。Bott-Chern證明了這個方程在 $A^{n-1,n-1}(X)$ 里是有解的。這不但是推廣Nevanlinna理論到concave complex manifold（這些流形都是non-Stein的，非常有意思，有興趣的同學可以研究下他們的文章，很容易懂，我大四看的），而且也導致了Bott-Chern cohomology。更一般地，可以不考慮top Chern form，而考慮任意的different form，那麼上述方程可能只在current意義下有解。我想這些東西在Bismut的工作里也多次用到了，還有Donaldson functional，甚至arithmetic Riemann-Roch。為什麼這玩意兒應用這麼廣泛呢？就是因為它思想簡單。

再比如Chern-Simons，就是在principal bundle上做transgression。70年代的時候，最熱門的問題就是帶邊流形的指標理論。比如考慮帶邊曲面的Gauss-Bonnet公式，就有一項測地曲率，沒有閉曲面的公式漂亮。也就是說，不能直接給出拓撲不變數，而是有一項跟邊界有關的幾何量擺在那裡。這導致了eta invariant和Chern-Simons。Chern-Simons是考慮4-manifold上Pontryagin form的積分，所以導致3-fold的不變數，當然可以很容易地推廣到任意odd dimensional manifold。具體說來，geometric setup就是個principal bundle $pi:P ightarrow M$ ，用 $pi$ 拉回 $M$ 上的示性類將得到一個exact form $alpha$ ，因為 $pi^ast P ightarrow P$ 使trivial bundle，示性類全部消失。 $alpha$ 有個primitive $eta$ ，這個 $eta$ 就是Chern-Simons form。最有趣的情形就是 $dim_mathbb{R}(M)=2n-1$ ，而 $alpha$ 是個 $2n$ -form，這時候因為dimension reason $deta=0$ ，所以 $eta$ 定義了上同調類 $[eta]in H^{2n-1}(P;mathbb{R})$ 。有趣的是這個上同調類是個conformal invariant，這就是Chern-Simons invariant。像這麼簡單的數學，你小時候看一遍，到死都不會忘記。

上述兩個工作裡面，考慮characteristic form而不是characteristic class至關重要。有些人往往不懂兩者的區別。

陳先生之所以取得這麼大成就，最重要的原因是他運氣實在是太好了，碰到了當時世界上最偉大的數學家Weil。Chern class的想法是Weil告訴Chern的。這個工作並不難做，idea是最主要的。所以陳先生花了比較少的功夫就取得了巨大成功。

Chern class其實就是要用微分形式表示示性類。大家都知道，用微分形式等於在無窮遠處做拓撲，是非常粗糙的。假如在real case，這樣做根本行不通。但是對於復向量叢，由於classifying space是Grassmannian，所以沒有torsion，這樣做是可行的。這就是為什麼de Rham上同調（包括所有 $mathbb{Q}$ 係數的上同調）在拓撲上就是一坨大便，而在代數幾何上卻顯得不這麼糟糕，深層原因是幾何結構的rigidity不同。陳先生自己也是老實人，多次說過要成功運氣最重要。因為他自己就是靠運氣成功的。當然，智商太低也不行。

回到第二段，我很感興趣的問題是怎麼構造出一些有趣的non-Stein complex manifold。有些可能有用的obstruction，比如Grauert theorem，斷言任何一個even-dimensional topological cycle都有analytic representative；再比如Kirby calculus，可以證明某些拓撲流形上不存在Stein結構···我認為討論這個問題比討論Chern的成就更有趣。

提攜後輩不算數學上的貢獻沒錯，但是他提攜了丘和吳，丘又帶了田(雖然吧有這堆大家都知道的破事)，陳省身何止提攜後輩，他是提攜了中國數學的半壁江山啊。。。

1.「數學做不出就推廣」這句話沒有證據顯示其出處。

2.「不難發現陳先生是一個推廣大師」貌似還挺難發現的，要不麻煩給個證明？

3.「鼓吹」讓人想起了先扣帽子再打倒的套路。例如「堅強不屈的戰士/負嵎頑抗的敵人」

4.陳有博士學位，當作教授，擔任過院長，建立過基金會，怎麼著都不至於稱呼為「陳先生」吧。

請對學術大師起碼保持一點最基本的尊重，文革結束了