如何在一個月內入門李群？

12-31

謝邀。

看你怎麼定義「入門」了。我實在不知道什麼叫「入門李群」。因為這方面內容太多了。估且從三個方面說點最基礎的東西，深的我也不懂。

幾何方面：緊李群上的Haar測度，李群上的（左或者右）不變度量，李群與齊次空間對稱空間之間的聯繫。

代數方面：緊李群或者不緊的李群的有限維或者無限維表示論，以及對應的李代數的表示論。復的單李代數、半單李代數的結構，root system。Cartan subalgebra,極大環面。其他數域上的李群（如p-adic等等）。與代數群理論的聯繫（reductive group啥啥的，which我完全不懂）。等等。

分析方面：李群本來就起源於微分方程，大概跟方程的對稱性有關係。此外李群表示論跟分析也有關係，比如S^1的表示論跟調和分析有關係，不交換的李群的表示論跟「非交換的調和分析」有關係。

可見這三個方面也不是孤立的，相互之間也是有聯繫的。李群是貫穿數學各個分支的基礎對象，內容非常豐富。

我這個半吊子也只能講這麼多了。去年上Kirillov的李群李代數課，零零散散地記得一點點。要更專業的回答還是另請高明吧。

這本書就挺好

物理向的讀讀 georgi；

喜歡數學的都Gilmore;

找個數學系同學給你解釋一些東西。

我不知道你想要什麼程度的「入門」。不過作為一個「做物理的」，我的李群、李代數知識主要來自這三本書：Sakurai第三章（SO(3)和相應李代數），Nakahara相關章節和Francesco et. al(大黃書)第三部分的前兩章。

這些內容初學者認真讀一個月，應該是可以讀完的。

與題主一樣的問題，我目前在讀《physics from symmetry》Jakob的，書上第三章講的是李群，講的很直觀基礎，這本書就是給本科生讀的。不過需要一些物理基礎，他是按照物理的思路來講的，抽象的數學用的不多。但是要是想讀懂讀透還是要下一番功夫，全書讀起來最困難的就是第三章講李群的部分，由於書中講解的很少，對於李群仍然不太了解。有些時候讀這些數學物理書就是應該慢下來，一點一點地琢磨。不要，求快。即使一個月入門了，過一段時間很快就忘了。我有這種經歷，希望與題主一起共勉。

欲速則不達。

Lie groups, Lie algebras, and representation. Brian Hall寫的introduction to 李群李代數的書，適合本科生閱讀。

對於我來說，重要的事情是lie群上的poley weyl分解，這種分解可以視為擬微分運算元在非線性情況的推廣，但是遺憾的對於非交換的情況，相應的理論是不存在的。

眾所周知，擬微分運算元框架刻畫了線性微分方程的所有的困難，原因在於Milkarin乘子定理告訴我們任何平移不變的運算元加上適當的正則性(保證無窮遠處截斷會收斂，有意義)morally都是乘子的形式。那麼本質上對正則性有影響的部分是特徵多項式的逆的零點，如果沒有重零點，那麼滿足hormander條件，Lp估計就是白給的，就算有零點，用station phase在糟糕的零點附近用放大鏡看我們也能夠說一些事情。重要的是這種手段不依賴於橢圓，只依賴於線性性，原則上來說刻畫了所有線性微分方程的困難。這就是為什麼擬微分運算元這麼有用。

Life is tough, 原則上來說，20世紀初人們就已經知道非交換的推廣是沒有的，在一些來自於幾何的偏微分方程，比如這個偏微分方程的刻畫是要和低空間上twisted上某個特定的bundle再給一個bundle上每個纖維上的特定foliation，要求找到一個和這個foliation campatibel發截面，那麼如果我們能夠找到合適的這個bundle上的wavelet，事情原則上來說會和擬微分運算元的情況一樣。因為符號類，符號計算，Lp估計，lipchitz估計，Sobolev估計都可以依葫蘆畫瓢搬過去，但是問題就在於generally沒有，但是對於一些有好的條件的lie群還是有的，原則上來說就是對稱性如果沒有被破壞得太差的話，對應的非線性情況可以用擬微分運算元的思路來處理。

馬中騏《物理學中的群論》

認真推薦An introduction to lie group and lie algebra by kirillov. 此書其實屬於很簡略那種，尤其是前邊關於manifold的部分各種跳，雖然後邊的proof基本沒有跳的了。不過不重要，重點在於此書的大脈絡，概念的引入很好，且選材很恰當。另外習題也不錯。總而言之適用於快速入門

為什麼要入門我們市委書記？