為什麼傅里葉變換如此有效？

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傅里葉變換統治了我這學期的所有課程。用傅里葉變換，可以在信號與系統課上處理很多時域上極其複雜的的系統；用傅里葉變換，可以在數理方程上把高階微分方程化成一階方程；用傅里葉變換，可以在光學上看到避免了原本複雜積分計算的傅里葉光學；用傅里葉變換，可以在隨機過程上處理協方差函數和譜頻率密度……請大神們指教，深一點層次看，為什麼把時域上的函數放在頻域上來加以研究會如此的有效？此外，放在頻域上來看，就一定要投影到 $e^{i heta omega }$ 這樣一組基上嗎？

如果從信號與系統的角度看，我覺得從根本上來說，還是由於線性時不變系統的性質決定的。

如果一個系統是線性時不變的，那麼想研究一個複雜的輸入信號通過系統以後的輸出，就可以把這個複雜的輸入信號分解成簡單一點兒的信號，通過系統，然後再合成起來，就是卷積。

那麼把信號分解成什麼樣的比較好呢？

我們知道，線性時不變系統可以用線性常係數常微分方程來描述，而線性常係數常微分方程的特徵函數是指數函數。所以就想把複雜的信號分解成指數信號。

傅里葉老先生髮明傅里葉變換應該不是這麼想的。他當時是覺得任何函數可以表徵成三角函數的加權和。

除了傅里葉變換以外，還有把信號分解成方波的沃希變換。

指數函數是微分運算元的特徵向量。

特別的，三角函數（復指數函數）是一組完備基。

你在研究微分運算元運用到任意函數的結果上時，當然是把這個函數做特徵向量的分解，算起來更容易。。

從高中的時候學習導數概念開始，我們就知道有函數 $e^{x}$ 特別神奇，或者說皮實經打耐用。它最耳熟能詳的性質就是它不怕求導

$(e^{x})$

變種也不怕，只要把指數的係數寫前面上： $(e^{kx})$

隨便求導毫無鴨梨，這個函數簡直生下來就是用來對付求導的，專註求導五百年。

基於這個簡單的神奇性質，一個廣闊的空間打開了。既然不怕求導，就一定能用來對付和求導密切相關的事情，比如高階微分方程。還猶豫什麼？

讓咱們開始今天的傅里葉和拉普拉斯激情大冒險吧！

首先看傅里葉變換

$F(k)=int_{-infty }^{infty} f(x)e^{ikx}dx$

為什麼它適合解微分方程呢？不妨讓我們看看如果 $f(x)$ 的傅里葉變換是 $F(k)$ ，那麼 $f$ 的傅里葉變換是多少？

$int_{-infty }^{infty} f$ 根據分部積分，把 $f$ 的導數符號丟到 $e^{ikx }$ 上

$int_{-infty }^{infty} f$

神奇的事情發生了，函數 $f(x)e^{ikx}$ 在 $pm infty$ 處的值都為0，因為在 $x ightarrow infty$ 的過程中， $f(x)$ 幾乎不變而 $e^{ikx}$ 隨著 $x$ 的增大而上下震蕩，所以函數值也快速震蕩，所以平均來說可以認為是 $0$ 。也就是說上面的公式邊界值都為0，這一項可以丟掉。

（萬門大學的劉赫男提出了更嚴謹的證明：因為 $F(k)=int_{-infty }^{infty} f(x)e^{ikx}dx$ 積分存在，所以積分內部的函數 $f(x)e^{ikx}$ 在 $pm infty$ 的值必須為零，否則 $F(k)$ 發散。感謝劉赫男的親情幫助！）

而 $int_{-infty }^{infty} f(x)(e^{ikx})$ 的化簡就體現到了神奇函數 $e^x$ 的性質，可以把指數上的係數 $ik$ 拿下來直接拉下來變成 $ikint_{-infty }^{infty} f(x)e^{ikx}dx$ ，神奇函數立功一次！而積分號裡面正是 $F(k)$ 。所以對於傅里葉變換而言， $f$ 的傅里葉變換隻是 $f(x)$ 的傅里葉變換 $F(k)$ 乘以 $-ik$ 即可。那麼 $f$ 的傅里葉變換呢？當然是再乘一次 $-ik$ 得到 $(-ik)^{2} F(k)=-k^{2} F(k)$ 啦。

Oh my Ladygaga！傅里葉變換對付求導真是太方便了，導數本身是複雜的性質，但是在傅里葉變換下，直接變成了乘以係數這麼簡單。那麼我們頭疼的關於 $f(x)$ 高階微分方程，直接就變成了關於 $F(k)$ 的一階多項式方程。。。

求解微分方程咱可能不會，求解多項式方程咱還能不會嗎？！！！

讓我們用同樣的視角來審視一下拉普拉斯變換：

$L(s)=int_{0 }^{infty} f(x)e^{-sx}dx$ 簡直是看到了傅里葉變換失散多年親兄弟啊有木有！！！

注意看積分符號裡面的 $e^{-sx}$ 和 $e^{ikx}$ 是不是一毛一樣！！！我都看不出有任何的區別！！！（是的我眼睛瞎了），因為本質上都是神奇函數 $e^x$ ，再重複一次他的性質：專註求導五百年。所以橫掃微分方程並不非不可能。

（太餓了先去吃晚飯，回來再寫）

知識創造樂趣，你是你的大學 http://www.wanmen.org

好好答一題：

首先從數學上來講，三角函數系是L2空間上的完備正交基，因此，該空間的函數可以用這一組三角函數完全展開。這也就是為什麼我們學傅立葉變換的時候要求信號一定是能量有限信號，因為只有能量有限的信號（即平方可積）是屬於L2空間的。傅立葉級數與傅立葉變換的區別也很簡單，傅立葉級數是針對周期信號，傅立葉變換是針對非周期信號，兩者本質是一樣的。對於周期為T的信號，其可以展開成基波頻率為（2pi/T）的所有三角波的疊加。對於非周期信號，可以看成T趨近於無窮大，則（2pi/T）趨於零，離散的頻譜就變成了連續頻譜。

從物理上來講，就一句話，所有能量有限信號，都可以看成一系列正弦信號的疊加，對於每一個正弦信號的權重，取決於傅立葉係數的大小。在信號處理中，我們就可以對不同的正弦信號採取不同的措施，就產生了各種各樣的濾波演算法。

再進一步講，對於三角函數，它是一種全局函數，也就是說，不論這個三角波的頻率如何，它自始自終都保持著一個波動形式，從負無窮到正無窮，永遠不變。但在實際工程中，有一些信號，可能只在很小的一段時間發生劇烈的變化，這樣的話，再用三角波去展開，在工程上就不太經濟，需要太多的三角波才能做到較高的近似。這時候就需要尋找一些新的正交基，他們只在局部有值，而其他地方為零或很小。那麼對這種不太平穩的信號就可以較好的近似。現在我們進入了新的領域－－－小波變換。

至於求解方程，這都是數學上的小技巧。因為系統的時域描述就是微分方程。我們還是可以用前面的思路來分析。為方便討論且不是一般性假定微分方程是一階微分（即直接對輸入信號求一階導數），而輸入信號等於 ai*sin(wi*t+theta_ai)+bi*cos(wi*t+thta_bi), 你現在對輸入信號求導，ai*wi*cos(wi*t+theta_ai)-bi**wi*sin(wi*t+thta_bi), 再去對比頻域，不剛好就差個jwi嗎？所以我們輕鬆把複雜的求導變換成了乘法運算，微分方程當然好解了。

有一種運算，把乘法變成加法，把乘方變成乘法

它叫對數

有一種運算，把微積分變成加減法

它叫傅立葉變換

因為我們研究的是線性時不變系統。

首先我們要清楚，常係數線性微分方程描述的系統不一定是線性時不變系統，因為需要初始條件才能確定唯一的解。當初始條件（或某些輔助條件）使解唯一確定以後，如果系統是線性時不變的，那麼這時方程描述的系統才是線性時不變系統，這些輔助條件等效為初始鬆弛條件。

線性時不變系統也不一定是能由常係數線性微分方程描述，如理想的濾波器。

但是在我們研究的線性時不變系統中，復指數函數依然是系統的特徵方程，我們可以用離散的來證明一下：

分解x[n]： $x[n] = sum_{k=-infty }^{infty }{x[k]delta [n-k]} = x[n] * delta [n]$ 。

如果系統是線性的： $y[n] = sum_{k=-infty }^{infty }{x[k]h_{k} [n]}$ ，h_k[n]是系統對delta[n-k]的響應。

如果系統再是時不變的： $y[n] = sum_{k=-infty }^{infty }{x[k]h[n-k]} = x[n] * h[n]$ 。

我們把x[n] = e^jwn代進去：

$y[n] = sum_{k=-infty }^{infty }{h[k]e^{jomega (n-k)}} = e^{jomega n}sum_{k=-infty }^{infty }{h[k]e^{-jomega k}} = e^{jomega n}H(e^{jomega })$

其中H(e^jw) = sum( h[k]*e^-jwk )，它與n無關。

再加上以exp為基的傅里葉變換（https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E7%BA%A7%E6%95%B0#.E5.B8.8C.E5.B0.94.E4.BC.AF.E7.89.B9.E7.A9.BA.E9.97.B4.E7.9A.84.E8.A7.A3.E8.AF.BB），你顫抖了沒有。

另外水平有限試在WolframAlpha找了一下LTI系統的特徵方程：f(a+b) = f(a) g(b)；

有兩個解，一個是上面復指數函數，另一個是零。

個人認為還有一個重要的原因是物理圖像的問題？

個人在學習中的一些想法，歡迎補充。

目前高票答案還有些不完整，我有空補充下.

傅里葉變換之所以有效，我覺得主要原因如下：（水平有限，歡迎補充）

1.時-頻（或空-頻）是對稱的，是研究事物的不同角度，並且對於一些問題很可能從頻域角度研究更簡單。這在數學上表現為: 傅里葉變換為L2空間的正交變換，變換基正交且完備

$<e^{jw_1t}, e^{jw_2t}> = int_{-infty}^{+infty}{ e^{jw_1t} e^{-jw_2t}}dt = 2pidelta(w_1-w_2)$

正交變換的好處是：

（1）函數變換前後一一映射（在復指數基上分解唯一）

$F(jw) = <f(t), e^{jwt}> = int_{-infty}^{+infty} f(t)e^{-jwt}dt$

（2）反變換簡單（綜合容易）

$f(t) =1/(2pi) int_{-infty}^{+infty}F(jw) e^{jwt}dw$

2. 很多信號在頻域上是稀疏的，因此在頻域上研究更簡單。（比如單頻的正弦信號，在頻域僅有一個頻點有值；很多常見的信號能量都集中在低頻等等）

3. 「頻率」這個概念最早可能是用來描述信號的重複周期的一種度量（單位時間重複了多少次），所以用來和」頻率「概念對應起來的信號首先應該是周期的，其次應該有多種多樣的重複周期。這種信號自然有許多，後來發現正弦信號性質最好（比如光滑等）且易獲得（彈簧振子，弦振動等），所以就使用cos(wt) 和 sin(wt)這樣的正弦信號形象地表徵」頻率「。這點我覺得也是偶然中的必然吧。後來發現使用復指數信號可以統一起來正弦和餘弦，使得表示更簡潔。

此外順便說一下，對於上述我猜測的」頻率「的來源，一個很直接的想法就是憑什麼你說的單頻就必須對應正弦信號，我也可以定義一種框架使得一個周期方波對應頻域一個單頻點呀。並且隨著數字電路的發展，類似方波的非連續信號越來越常見，因此也有使用不同周期的方波信號來分解表示任意信號的嘗試，如沃爾什變換。傅里葉變換和沃爾什變換相比，如果研究的信號類似方波，則使用沃爾什變換表示非常簡單；如果研究信號連續光滑，則傅里葉變換表示更簡單。總的來說人們更願意分析光滑函數（或者分段光滑），各種運算飛起，看看沃爾什變換各種sign函數連乘挺蛋疼的。並且還有FFT神一般的存在，最終傅里葉變換還是主流。

4. 關於常微分方程的簡化，這是因為指數函數是常微分方程的基礎解，所以使用傅里葉變換也好，拉氏變換也罷都可以簡化運算。對於運算的簡化，傅里葉變換（或者拉氏變換）還有一個更重要的性質，就是時域卷積對應變換域乘積！簡直神器。

5. 線性時不變系統也可以用常微分方程表示，所以再講下線性時不變（Linear Time Invariant)系統。 LTI系統如果一直用常微分方程表示，這樣由輸入求輸出需要求解一個微分方程，就太麻煩了! 我們手中有信號分解的利器呀，如果能夠把信號分解成許多簡單信號，然後在輸出端對各個簡單信號的輸出求和（根據線性系統的性質）就得到了最終所求的輸出信號，並且簡單信號通過系統不用求解微分方程可以直接得到，豈不美哉！

6. 自然正交分解最好用，最常見的信號正交分解有兩種：delta基分解和復指數基（或正餘弦基）分解。 delta基分解直接利用線性、時不變兩個性質得到了表徵系統的單位衝激響應h(t)。詳見如何理解卷積，另外如何理解圖像處理中的卷積？ - 水木八刀的回答

復指數基分解利用了指數信號為LTI系統的特徵信號的想法：

復指數信號通過LTI系統

$e^{jwt} * h(t) = int_{-infty}^{+infty} h( au)e^{jw(t- au)}d au = e^{jwt}int_{-infty}^{+infty} h( au)e^{-jw au}d au$

定義後面那串為H(jw)和t無關，實際上也看到就是h(t)的傅里葉變換。可以看到復指數信號通過一個LTI系統得到的輸出還是原來的復指數信號，只不過多乘了個常數（就是特徵信號對應的特徵值）。

因此任意L2空間的信號（註：由於傅里葉變換通常在2范空間定義，因此如無特別指出，皆假設L2空間信號） x(t) 通過LTI系統h(t)求輸出y(t)，可以首先將x(t)分解為復指數信號，然後在輸出端求和。

$x(t) = 1/(2pi) int_{-infty}^{+infty} X(jw)dw(e^{jwt})$

上式其實就是傅里葉逆變換，各個分量係數X(jw）由傅里葉變換得到

$y(t) = 1/(2pi) int_{-infty}^{+infty} X(jw)dw[H(jw)e^{jwt}]$

是不是很方便？

7. 針對童哲的回答傅里葉變換處理微、積分時的細節做點補充

對於L2空間的非周期信號，其正負無窮大處值必然趨於0，否則就不是L2信號了！但是傅里葉變換引入delta函數後有了一定擴展實際上可以表示一些非L2信號的頻譜。比如

$sgn(t) ightarrow 2/(jw)$

$1 ightarrow 2pidelta(w)$

此時，對於一般信號x(t), 若

$x(pm infty) e 0$

且無窮遠處極限存在，則可以將x(t)表示成

$x(t) = x_0(t) + c_1 sgn(t) +c_2$

其中x0(t)在正負無窮大處極限皆為零，這樣再使用微積分性質只要單獨出來X0(jw) 就沒問題了。

$X(jw) = X_0(jw) + 2c_1/(jw) + 2c_2pidelta(w)$

(對於無窮遠處極限不存在的情況，我也不知道可以怎麼處理了~)

順便提一下，微分會把直流分量濾掉，因此利用傅里葉變換的微積分性質時要注意原信號有沒有直流。舉個例子:

階躍信號u(t) 和符號函數的一半 1/2 sgn(t) 的導數都是 delta(t), delta(t)的傅里葉變換為1，那麼對於沒有直流分量的1/2 sgn(t)，其傅里葉變換可以直接由傅里葉變換的微積分性質得到：

$jwF(jw) = FT[ sgn^{$

$F(jw) = 1/(jw)$

而階躍信號由於存在直流需要首先將直流拿出來，

$u(t) = 1/2 sgn(t)+1/2$

$U(jw) = 1/(jw) + pidelta(w)$

8. 簡單總結下，從數學計算的便利方面，傅里葉變換把一個域（如時域）的複雜的微積分變成另一個域（如頻域）的簡單的乘除，把一個域（如時域）的複雜的卷積變成另一個域（如頻域）的簡單的相乘，並且由於其為正交變換，保證了在另一個域（如頻域）做完簡單運算後能夠很容易地反變換到原來的域（如時域）來，並且這種變換的是一一對應的；

從信號分析方面看，傅里葉變換提供了觀察信號的另一個維度，人們可以根據信號特定很方便的選擇從時域角度或者從頻域角度，或者同時從兩個角度，更充分地分析理解信號。比如一個信號由3個正弦信號疊加得到，在時域上很難看出來是個什麼鬼，要想提取出來單個分量也是無從下手；但是轉到頻域分析就非常容易處理了。」濾波「這個概念本身大概就是從頻域角度定義的。

並且自從發展出FFT這樣的神級武器後，許多傳統上適合在時域處理的問題也紛紛在FFT的幫助下放到頻域處理來提速演算法。

當然由於傅里葉變換的基（復指數信號）是全局的（時間上布滿整個時間軸），也有諸多不便（比如不能處理非平穩信號，丟失時間位置信息，計算量大等），因此也發展出短時傅里葉變換、小波變換等更豐富的時頻分析工具。

暫時想到這麼多，水平有限，可能有些理解不對，歡迎更正和補充~

聽了你的描述，好像僅僅把傅利葉當成了一個牛逼的數學技巧或者數學公式了。

知乎就有好多精彩的解釋，我也淺談一下

從信號的角度來講:一個詞，周期性

簡單來講，對於周期信號來說，怎麼將它分解為一次諧波，二次，三次。。以及能不能分解，成為了傅利葉級數以及後續分析的研究背景。其中，從代數的角度也可以進行研究，也就是你提到的完備基。你可以撇開其計算的具體過程，想想傅利葉分析到底想幹什麼

定義了傅氏變換後

從系統的角度講，兩個詞，線性時不變，特徵分解

線性時不變系統的特徵函數是復指數函數，其特徵值是衝激響應的傅里葉變換在該頻率點的取值。

輸入信號的特徵分解成為自然的選擇，輸出僅僅是對其譜進行加權。

而分解的方法就是傅氏變換，分解係數稱為頻譜

相關函數和功率譜密度之間的傅氏關係，純屬於數學上的公式結論，理解相關和功率譜的物理概念含義更重要！

數理方程里傅里葉變換的應用，典型的什麼求導積分變乘法，卷積變乘法，相比於信號系統領域更偏重於純數學技巧。測重點完全不同。

光學我不是很肯定，但是估計就是譜分解。

總之，傅利葉分析在數學分析里有專門比較深入的討論研究，完備嚴謹，建議你可以大致翻看。

但是你要是通信信息專業的，更重要的無疑不是傅利葉變換本身以及什麼數學計算技巧，而是其背後站著的幾個概念。

線性時不變系統，譜，特徵分解，周期性信號。

僅針對題中的傅里葉光學說一句。

傅里葉光學是基於惠更斯-菲涅爾定理的，其思路是從最本質的麥克斯韋方程組簡化到一個線性時不變系統：

麥克斯韋方程組 =&>

（標量場近似矢量場）-&> 各種積分衍射定律，包括基爾霍夫衍射定律和 Rayliegh - Sommerfeld 衍射定律 =&>

（Huygens - Fresnel 定理，各處新波等於先前子波的線性疊加，並假定空間介質均勻，這就是線性空不變）-&> 傅里葉光學。

所以，在傅里葉光學裡，你能看到用卷積表示一個光學系統，這就是因為 Huygens-Fresnel 定理的引入，人們假定了所考慮的是一個線性系統，所以才有了這麼優秀的性質。從一定程度上可以說，是人們簡化了所考慮的物理模型，才使得傅里葉變換顯得如此有效。

凡是不顯含時間的變換，在頻域上看都是解耦的。

不問是不是就問為什麼真的是耍流氓。

傅立葉的確提供了泛函意義上一組完備的基，然而這完備並沒有什麼卵用，因為收斂不均勻。

參考吉比斯現象。

按我的方式來說，fourier的所謂的有效只不過是穩態連續信號下有效而已。