復幾何的前景如何？

現在傳統的復幾何（以多復變為手段，大致相當於蕭蔭堂那一套）做的人多麼？還有哪些open question和發展方向？幾何分析那一套東西，和傳統的復幾何在技術上有什麼區別？主要在於使用了很多PDE的工具么？復微分幾何和復代數幾何有哪些聯繫？Hodge conjecture球簡介？本世紀內是否有望解決？（最後一個問題純屬吐槽哈哈~）

才看到這個問題，距離樓主提出來這個問題已經過去好幾年了。我想簡單講講復幾何里跟我的方向相關的前景。

最近幾個月我在學的主要是cscK度量的問題，這個領域裡有幾個地標式的大成果都發生在最近幾年。

重要的包括（但不只限於）

08年 Phong等人解決田猜想，確認了Mabuchi能量的coercivity與KE度量的關係，Darvas等人又在15年前後引入Finsler幾何的方法。cscK度量的對應結果還是未知的。

13年前後Yau猜想的解決，這是Chen-Donaldson-Sun的著名工作。

00年Chen對Mabuchi能量的解釋，02年前後Donaldson引入Donaldson-Futaki不變數，到16年前後Boucksom等人將DF不變數解釋為非Archimedean的Mabuchi能量（雖然聽說張壽武早就知道這個結果了）。

從KE度量的存在性的證明看，一般的Yau-Tian-Donaldson猜想很可能是成立的，其正確的穩定性定義現在人們還不清楚（雖然看起來Boucksom-Hisamoto-Jonsson引入的一致K-穩定性很可能是個好的選擇），我想對從事這個領域的學生來說，這可能是個很有前途的方向。

謝邀！復幾何的確太大了，所以這個問題我也不知道怎麼回答了，如果真要知道復幾何的前景，估計要找復幾何大師聊聊了。我就簡單介紹下我關注的幾個復幾何的問題吧。本人碩士階段主要學習子流形的幾何，到博士階段才真正學習復幾何，所以算是個初學者。本人博士階段主要側重複Finsler幾何的學習和一些形變理論的問題。

我為何要學習復Finsler幾何？

1. 眾所周知， Mori使用特徵p方法天才地證明了如果緊複流形具有ample 切叢， 那麼它就是射影空間， Siu-Yau使用harominc map方法證明了緊緻Kahler流形具有正的雙截曲率，那麼它是射影空間。 Mori的條件是比較弱的條件，而且有個復Finsler幾何的刻畫，就是在餘切叢上存在復Finsler度量使得具有負的曲率。那麼一個自然的問題就是是否可以使用微分幾何的方法克服特徵p方法做到Mori的結果。

2. 如果對於一般的全純向量叢E是ample的， 那麼是否是否存在Hermitian度量具有Griffith正曲率，這就是Griffith conjecture. 本質上就是給定E上Finsler度量具有正曲率，怎麼形變它成一個Hermitian metric保持曲率正性。

3. 還有就是以上回答者提到Darvas使用Finsler幾何的方法做典則度量和泛函。 以及Schumacher， Yeung, To等構造模空間上Finsler度量，從而證明Kobayshi hyperbolic。 以及Yau 猜測Finsler度量具有負的 holomorphic sectional curvature 和 general type之間的關係等等。

最後就是Kodaira證完Kahler結構的穩定性後對他自己的方法感覺不太滿意，問是否有個更基本的證明(比如使用power series方法)， 本人與合作者回答了這個問題。

由於本人能力有限，回答如有不嚴謹之處還請見諒。

復幾何太大了，每個方向的前景都不一樣，像Siu這樣純粹做復幾何的數學家並不多，大多數人的工作都轉到和度量相關的問題了，這些基本上是在複數域上使用幾何分析的方法。最傳統的復幾何是要研究函數論問題和復結構的，比如最傳統的Mittag-Leffler問題和Weierstrass問題，推廣到高維複流形上以後就導致了coherent analytic sheaf的研究，這上面有有很多vanishing和non-vanishing的結果，比如Andreotti-Grauert理論，或者眾所周知的，最古老的Cartan"s theorem A and B。最經典，最正統的復幾何就是研究複流形上的函數論。這方面你學到的第一個非平凡的結果大概是Hartogs定理，這個定理不僅在複數域上有用，還有對於交換環的推廣版本，在代數幾何上也經常用到。

就是因為函數論，coherent sheaf這個概念才變得重要。而從Kodaira-Spencer時期開始，把包括函數論在內的幾何問題轉化為關於sheaf的問題就是復幾何的研究方式。在比較現代的理論裡面，multiplier ideal sheaf起到很重要的作用，而這個概念最早是Nadel在研究Fano manifold上的KE metric的存在性時引入的：Multiplier Ideal Sheaves and Kahler-Einstein Metrics of Positive Scalar Curvature。後來的發展表明，multiplier ideal sheaf在復代數幾何上起到很重要的作用。比如Siu用它證明了finite generation of canonical ring。

另一個很本質的概念就是復結構，這是復幾何最基本的概念。Siu證明了 上的復結構不能deform，以及 上的復結構唯一，這個方向後來被他的學生Mok和Hwang發揚光大，推廣到quadric hypersurface和flag variety上。這些uniformization的結果其實也可以看做對Riemann surface上的相應結果的推廣。當然，在高維，另一種有效的做uniformization的方法是假設KE度量的存在性。Mok和Hwang在他們的工作里引入的一個本質概念是variety of minimal rational tangents (VMRT)。這方面又有很多進展，比如Hwang用它證明了Beauville的猜想：projective holomorphic symplectic manifold上假如存在Lagrangian fibration，那麼base manifold一定biholomorphic to 。

和函數論有關的另一個方向是值分布，這個我比較熟悉。通俗地說，就是要尋找Schwarz lemma的高維推廣，從而理解holomorphic map的degeneracy和負曲率的聯繫。或者說，這就是複流形版本的hyperbolic geometry。這時對度量的研究不是本質的，因為想要證明Nevanlinna的兩個定理的高維推廣只需要構造負曲率的度量，比如復Ricci曲率。但是有時候你可以perturb度量得到KE度量。這個方向和數論上的Diophantine逼近有關，這方面有非常漂亮的聯繫和猜想，但是人們卻並不知道這些聯繫背後的原因。3月份的時候我在看Vojta寫的LNM 1239，但是後來出車禍了，就沒那個精力了。這方面最重要的猜想來自Serge Lang，是說代數簇 over任何number field 的rational points 是有限的，當且僅當 over 是Kobayashi hyperbolic的。我以前寫過關於Kobayashi hyperbolicity的科普，現在找不到了。

所以不是說傳統的復幾何就被淘汰了，大家都用PDE了，只是說太多問題人們不會做，所以有些人望而生畏。並不是說PDE就是數學的主流，只是現在這個方向比較容易寫文章，做的人就多。毫無疑問，Siu做的數學在幾何學家裡面難度是很高的，甚至可以說是最難的，這才是正統的復幾何問題。

Hodge猜想屬於代數幾何，不是復幾何，因為很明顯你需要依靠一些代數的方法去做它，你需要懂Hodge理論裡面一些比較深入的內容，用分析是不夠的。Hodge理論也並不是像初學者想像的那樣只要搗鼓幾個Laplace運算元。目前Hodge猜想上幾乎沒有任何進展，本世紀獲得解決有一定難度。Cubic 4-fold的rationality問題都不知道什麼時候能解決。

復幾何上還有一個重要人物是Demailly，據說這是個天才，不僅在數學上，可以說是屌爆了。他發展的holomorphic Morse theory也有很多重要進展，比如在Green-Griffiths猜想上，比如numerical characterization of Kahler cone。這個方向也值得關注。

復結構不僅可以做uniformization，還可以考慮deformation，即最早由Kodaira和Spencer發展的理論。初期這個理論只適用到了基本的復幾何知識和sheaf cohomology，但是這個研究是非常奠基性的。和代數幾何的想法結合後，你可以考慮deformation of algebra和deformation of category，可以考慮moduli space，由此衍生出obstruction theory，可以考慮deformation of bundle，甚至Higgs bundle。總之，現在的deformation theory基本是純代數和代數幾何的研究範圍，和復幾何沒什麼關係了。

還有一個沒有提及的方向是holomorphic vector bundle的研究，即使在projective space上，這個問題也很不清楚，比如Hartshorne猜想。但是人們現在更傾向於去研究bundle的模空間，這從Atiyah-Bott那時候就開始了，後來就有Donaldson和Hitchin的工作，再後來代數幾何學家意識到應該研究coherent sheaf和stability condition，這個方向慢慢地就變成代數幾何和gauge theory相關了，很少有人從復幾何角度來研究這些問題。但是Siu在15年用復幾何方法證明了在 , 上，任何unstable holomorphic rank 2 bundle都split：https://arxiv.org/pdf/1505.02103.pdf。

我已經很多年不碰復幾何了。現在唯一還有興趣的地方就是Vojta的理論，因為我知道我做分析是做不過別人的，我也不認為純粹用分析的工作有趣。還是要有個開闊的眼界，才能知道自己能幹些什麼。不要總是執著於有什麼open problem，任何一個open problem就必須是學了很多樣工具以後才能去考慮的，所以第一步是開闊眼界，充實武器庫。

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