幾何學（代數幾何、微分幾何、復幾何、辛幾何）最核心的問題是什麼？

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代數幾何是不是minimal model program?
微分幾何是不是分類各種曲率條件的流形？
復幾何是不是典則度量，比如Kahler-Einstein, cscK度量？

辛幾何是不是J-holomorphic curve?

我有時候不太明白，為什麼大多數搞數學的人都要執著於「問題」，提問就要問這個領域的核心問題是什麼。我想問題只是數學的一部分，理論和語言也很重要。何況數學是研究結構的學科，不是為了解決問題才存在的，有些人的想法過於屌絲。

1.代數幾何這麼大的領域，核心問題什麼時候成了MMP？Grothendieck就不搞MMP，他是不是沒抓住代數幾何的核心問題啊？說白了，MMP就是做具體的代數幾何，說難聽點就是代數幾何里比較屌絲的一部分。雖然我不否認它是很好的學問，但是fancy程度跟算術幾何當然沒法比。

2.微分幾何的也很大，然而我個人認為最重要的確實是了解曲率（包括度量）和拓撲的聯繫，也就是所謂的整體微分幾何。然而也有很大一部分微分幾何根本就不用聯絡和曲率，比如Gromov發展的度量幾何。

3.把微分幾何和復幾何割裂開來是可笑的。微分幾何包括很多方面，辛幾何也可以算微分幾何，只是所用工具不同。Riemann幾何用的分析工具具有local nature，而辛幾何所用的J-holomorphic curve則是具有global nature的分析工具。度量的存在性之所以重要很大程度上也是因為它能幫助我們了解整體的幾何和拓撲性質，比如Betti number的估計，Poincare猜想，bundle的stability等等。

然而復幾何如此龐大的領域，重要的研究遠不止度量而已。比如hyperbolic geometry就是很重要的方向，它本身也很龐大，比如跟Diophantine逼近，動力系統都有關係。而且復幾何提供了研究代數幾何問題的transcendental method。不要認為許多中國人在研究上面的度量，就度量最重要。中國人也有做別的問題的，比如Houston大學的汝敏教授，就是傑出的復幾何學家；再比如Mok-Hwang合作發明了VMRT，這也是從復幾何出發得到的研究代數幾何的有力工具。

4.上面已經說過，J-holomorphic curve本身就是一個global in nature的分析工具。它對於辛幾何而言當然是最重要的。然而J-holomorphic curve主要用到辛流形上的tame almost complex structure，是類比於復幾何，主要用來得出rigidity方面的結果，這只是一半的辛幾何。另一半flexibility同樣重要。我在多個場合多次講過，辛幾何=代數拓撲+代數幾何。

舉個辛幾何的flexibility方面的例子：類比於拓撲，很重要的就是了解Stein manifold（辛幾何上叫Weinstein manifold）的handlebody decomposition。在4-manifold topology上有Kirby calculus，那麼就要尋找它的symplectic analogy。這方面主要依賴Weinstein和Eliashberg等人的貢獻。其實本質上就是Morse theory，只是現在需要跟幾何結構compatible。

一個只知道關注有什麼問題的人是走不遠的。必須要去關注理論的完備性，讓數學作為一個學科更加完整。就辛幾何而言，如果代數幾何上的理論和結果，辛幾何上還一片空白，那麼就要想辦法去把它找出來，這樣辛幾何的理論才完整。同樣的，拓撲上已經有的surgery，辛幾何上還沒有人考慮過，那麼就應該去做它的symplectic analogue。現在Gromov已經把綱領和原則告訴了我們，那麼我們的任務就是要把這個學科發展完整，而不是只知道縮在小角落裡面克服技術困難，那樣魄力就太小了。其他幾何也是一樣的。為什麼做算術，做Langlands的中國人都做得特別好，有些方向就要遜色一些，我想跟某些做幾何的人不願意從整體上去考慮數學也有關係。我算是過來人，身經百戰，見的多了。過去我沒有遇見志同道合的人，但是來倫敦了以後發現我這個領域比較好的數學家的想法跟我還是很一致的。我勸初學者還是多去了解一些picture，形成自己對學科的理解，堅持自己的數學風格，這樣才能不被別人左右，有朝一日完成屬於自己的大工作。整天鑽在問題里並不是什麼好事情，難道你打算一輩子打工嗎？

說這些么很多人又要叫囂：你是不是應該先把基礎打好啊？可是我看那些整天叫囂要解決問題的人連最簡單的東西都沒搞明白，看看你們知乎的問題就知道，基礎比我都差得遠呢！就不要在那裡裝腔作勢了吧。

代數幾何分支很多，MMP只是其中一個分支——雙有理幾何，始於S.Iitaka引入D-dimension,後由S.Mori因解決Hartshorne猜想而將MMP發揚光大，而Reid,Kawamata,Kollár,Miyaoka,Shokurov等在八九十年代的MMP做了基本工作。

近些年最有代表性的工作之一是BCHM[2010],即光滑代數簇的典範環是有限生成的，而這可以推出很多結果，其中包括任意維代數簇flips序列的存在性，但這個序列是否有限步終止則是很困難的,稱之為Termination猜想;而這個BCHM工作需要假設至少邊界除子是big的，至於更一般的情形並沒有很好的結果。

猜想：令X是光滑射影簇，(1)如果典範除子Kx是偽有效的，那麼X的小平維數大於等於0。（2）Kx是nef的而且不數值等於0，那麼X的小平維數大於0.相關背景可參看Hacon,Kovács,Classification of higher dimensional algebraic varieties,第13頁,1.30.

雙有理幾何領域還至少包括另一個猜想——Iitaka猜想，f:X→Y是代數纖維空間（即一般纖維F是連通的），那麼X的小平維數大於等於Y與F小平維數之和。目前只有一些特殊情形的證明結果，比如最新的其中一個工作Junyan Cao,Mihai Paun,Kodaira dimension of algebraic fiber spaces over abelian varieties，證明如果Y是abelian簇，而F滿足一些條件後成立的Iitaka猜想。

國內專家們比較推崇的重大問題（看起來相對容易理解的微小問題）：