現在已知的最大的有意義的數字是多少？
是阿伏伽德羅常數，是ipv6所能分配的地址數，是現可統計的星星數？這之類的
目前發表在數學期刊上的最大的有限數是 TREE(3)。TREE 函數是在研究 Kruskal 樹問題的時候定義的。Kruskal 證明了一個定理：
考慮如下的樹序列
：
最多有 i 個節點；
- 每一棵樹都被 k 頂染色；
- 任意兩棵樹都不能同胚嵌入。
定理：所有如此的序列必然有限。
那麼既然 Kruskal 序列是有限的，Harvey Friedman 就定義了一個 TREE(k)，表示 k 染色下序列長度的最大值，可以證明 TREE(1) = 1, TREE(2) = 3, TREE(3) 則是一個大到難以想像的數值：如果定義（超運算），那麼
。哦對了，Graham 數的大概大小是
。目前還沒人給出過 TREE(3) 的上界，只知道它是有限的。
參見 葛立恆數 。
題主要求的「有意義的大數」，我理解成是有特殊價值的、一類典型問題的解或者證明過程中出現的必要的數，而不是簡單的符號堆砌，也不是憑空構造的數。畢竟你總能構造一個更大的數。「葛立恆數由葛立恆提出，被視為現時在正式數學證明中出現過最大的數。它大得連科學記數法也不夠用。」這個數比樓上提到的大得多，而且大的程度遠超一般人的想像。要描述這個數有多大是很困難的，想要描述清它的位數也幾乎不可能，如果你想把這個數的位數寫下來，或者是它的位數的位數，或者是位數的位數的位數的位數，鋪滿整個宇宙的紙都寫不下。但我更想說說另一個大數 Skewes" number雖然遠沒有前一個那麼大，但尤其有趣，參見 素數定理 。定義π(x)表示不大於x的素數的個數。數學家證明π(x)與x/ln x的比值趨近1，並且給出了一種更好的估計方法Li(x)。很快發現，Li(x)幾乎永遠略大於π(x)（在幾億億億內都是如此），很自然地，人們猜想Li(x)總是高估素數分布。一般來說，幾百億都找不到反例總歸會認為是正確的猜想吧？但是很遺憾數學家被打臉了。這個結論被證明是錯誤的，早期的證明中使用的反例出奇地大（10^10^10^34）。（即使想把這個數寫下來，在宇宙中也是寫不下的）
SCG(13)Subcubic graph number
第 48 個梅森素數就很大了： 2^57885161 - 1，寫成十進位有一千多萬位，是不是最大的數字我不知道。
記得一本科普書上說，讓一粒鑽石靠著勢能最小原理變成完美球形所需時間是10^（10^134）年
物理學家從來都不著調……TREE(3)，即使宇宙的半徑為葛立恆數光年，由普朗克基本粒子填滿，每個粒子代表一個數位，依然遠遠裝不下TREE(3)......
10的100次方，即googal，古戈爾，相傳谷歌據此而來。阿伏伽德羅常數：10的23次方級別。IPv6，IP地址總數為2的128次方，號稱能使「地球上每粒沙子都擁有一個IP地址」。
星星數量：如果你說的星星指的是恆星的話，可統計的恆星數量很小，大約為10億顆左右。
跟古戈爾相比，上述數量級都是大巫見老巫，宇宙中所有基本粒子（目前理解的「宇宙」以及「基本粒子」），推測總共約有10的80次方個；每秒運算10億（10的9次方)次的電子計算機，假定它從宇宙大爆炸時（距今約137億年）就開始運算，其運算總次數也不夠10的100次方次，。ps：佛經里最大的數叫做"不可說不可說轉"，為「不可說不可說」乘以「不可說不可說」，約為10^(3.72^37)，即10後面跟3.72^37個0。終極boss：古戈爾普勒克斯（googolplex）是1後面有古戈爾（googol）個零。如果說排列組合也算有意義的數字的話，那麼古戈爾普勒克斯這個終極boss也要嚇尿，目測只有+∞才能笑傲江湖，永垂不朽。上個星期，我給我小學一年級的女兒上點小數學。寫了一個1, 3, 5, 7, 9...的正奇整數數列，寫了一個1,4,9,16,25,36，......的平方數列，寫了一個1,1,2,3,5,8,13,.......的斐波那契數列。
本來是缺個數字，讓她補上。後來，她說飛不垃圾（斐波那契）數列的數都挺小的。我告訴她，後面增長得比平方數列快得多。
然後她問有什麼增長得比斐波那契快的，我說很多，n次方、階乘這些（說她也不懂）。然後我問她自己想一個增長得飛快的有規律的數列。她想出1、2、4、16、256......（其實1應該去掉），後面的數是前面的數乘以自己。其實就是2^(2^n)的模板了。這個確實增長得很快了。她讓我想一個。
我想了一個給她：1，2的2次方，3的3次方的3次方，4的4次方的4次方的4次方，.......我算了一下第四個數，一下網上找不到大數計算器，感覺已經算不出來了。然後我跟她說，應該比宇宙的大小（體積），除以電子的大小（體積）的結果，還要大。
六歲多的小孩也不懂，反正讓她開開眼界吧。想起十幾年前讀研時學《現代數學導論》。那門課對專業一分錢關係都沒有，但感覺也是開了眼界，不少是些在數集上面的運算。然後記得n年前讀大學時讀過一個科幻微小說：有一台知道宇宙所有粒子當前狀態（位置、速度）的計算機在跑，跑到人類早已滅絕，終於算出什麼結論出來。這估計是量子力學時代以前寫的，認為用純機械運動就能解釋整個宇宙。不過如果真的是這麼計算，那這麼一個「宇宙狀態演進的樹「的數據也是大得無邊了。
Loader"s number is the output of loader.c, a C program by Ralph Loader that came in first place for the Bignum Bakeoff contest, whose objective was to write a C program (in 512 characters or less) that generates the largest possible output on a theoretical machine with infinite memory. It is among the largest computable numbers ever devised.
The program diagonalizes over the Huet-Coquand calculus of constructions. Its output, affectionately nicknamed Loader"s number, is defined as D5(99)=D(D(D(D(D(99)))))D5(99)=D(D(D(D(D(99))))), where D(k)D(k) is the sum of all possible bit strings described by the first k expressions of the calculus of constructions (encoding everything as binary numbers).
David Moews has shown that D(99)D(99) is larger than 2↑↑30,4192↑↑30,419 (where ↑↑ is tetration), and that even D2(99)D2(99) would be much larger than fε0+ω3(1,000,000)fε0+ω3(1,000,000) in the fast-growing hierarchy, using Cantor"s definition of fundamental sequences. D2(99)D2(99) thus is obviously much larger than the output of Marxen.c, which is upper bounded at the aforementioned fε0+ω3(1,000,000)fε0+ω3(1,000,000).
The final output of D5(99)D5(99) is much larger than TREE(3), SCG(13), and, say, BH(100). It is probably overpowered by finite promise games and greedy clique sequences. Loader"s function is computable, so Σ(n)&>D5(99)Σ(n)&>D5(99) for relatively small n, say, n = 100.
搬運自Loader"s number 懶得翻譯OuO
梅森質數已經很大了，而它產生的完全數就更大了。 完全數是指除自身外因子之和等於本身的數。如6，除6自身外有因子1，2，3，加起來等於6本身，所以6是完全數。歐幾里德發現了一個完全數公式：（2 ^p-1）X2^（p-1）。如果2^p-1是質數——梅森質數，那麼（2^p-1）X2^（p-1）。 便是一個完全數。比如p=2時，2^p-1＝3是質數，（2^p-1）X2^（p-1）＝3x2＝6。如王盛頤所說，第 48 個梅森素數已經有一千多萬位了，那第 48 個完全數就更大了。
我想說的是，哪有所謂的最大呢？你說葛立恆數最大，那好，2倍的 葛立恆數呢？？葛立恆數^葛立恆數 呢？用葛立恆數替換掉葛立恆數里的3（即葛立恆數里的因數）呢？這樣計算之後前面再添個係數2呢=- =然而你要說∞，可∞並不是個數。。。所以並不存在最大的數。。。
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