費米面處有平庸電子態的拓撲金屬如果有超導，可以實現拓撲超導嗎？

12-31

Na3Bi、Cd3As2、TaAs 等拓撲半金屬由於費米面處的態密度非常小，因此原則上不會出現超導。如果要使拓撲金屬成為超導體，那麼費米面處除了Dirac點和Weyl點外，還應該有其他平庸的電子態。請問（1）這種費米面有平庸電子態和非平庸的能帶交叉點的體系在輸運或光電子能譜（ARPES）上能探測出來Dirac或Weyl點嗎？（2）如果體系超導，可以實現拓撲超導嗎？

謝邀，第一次被邀請，發現自己或許還能幫上一點忙。題主的問題太鬆散，太多細節拼湊了，我試著理清一下思路，並給出自己的一點思考。我先給出一張和拓撲半金屬相關材料的能帶示意圖[Ref. 10.1038/NPHYS3372]，如圖1所示。

圖1：具有不飽和磁阻特徵的不同材料（拓撲和非拓撲半金屬材料）簡化的能帶示意圖[Ref:10.1038/NPHYS3372]。

1. 標題中「費米面處有平庸電子態的拓撲金屬如果有超導，可以實現拓撲超導嗎？」舉NbP為例，它也是TaAs一族的Weyl半金屬材料（破壞空間反演P）,它的費米面同時切割到了平庸電子態（d圖左邊hole pocket）和非平庸電子態（d圖右邊electron pocket）。按照標題的說法，我們現在讓左邊平庸的空穴口袋超導，保持右邊電子口袋正常態非平庸，那麼就可以實現了拓撲超導了。確實是實現了「拓撲+超導」（有些電子超導有些電子拓撲），但這不是真正意義上的拓撲超導。拓撲超導是針對於同一個電子能帶而言的，即它超導配對(Cooper pairing)後的序參量具有非平庸的拓撲不變數（比如p-wave超導），這兒我給一些參考文獻[Ref. 10-12]。因此，我將試著回答的問題是「費米面處有非平庸電子態的拓撲金屬如果有超導，可以實現拓撲超導嗎？」，這個回答中我將仔細回答Weyl半金屬中Dirac cone超導的話，它可能的配對方式。

2. 題主提到「Na3Bi、Cd3As2、TaAs等拓撲半金屬由於費米面處的態密度非常小，因此原則上不會出現超導」，原則上來說，你說的也沒有錯啦。3D拓撲半金屬的態密度 $ho(E)propto E^2$ ,我們注意到當費米能接近Weyl點時，電子態密度消失，確實也無法進一步產生超導。可是超導配對的機制是很複雜的，跟態密度的大小的關係並不明顯，一個很好的反例便是金屬性越好的材料越難超導，而金屬性很差的陶瓷材料（YBCO等）反而更容易超導。態密度的大小會影響超導能隙的大小，但不是誘因。超導的誘因（怎麼從金屬相或者絕緣相進入超導相？），特別是高溫超導，人們現在還說不太清楚。凝聚態理論研究者通常會用正常相失穩(phase instability)來討論這個動力學過程。一般凝聚態的正常相可以用landau-Fermi液體理論來描述，但是考慮相互作用後可能會導致三個通道(channels)的失穩，分別是: CDW, SDW和 BCS 通道，如下圖2所示[Ref:Shankar, RevModPhys.66.129]。如果你已經知道系統會出現怎麼樣的相變，那麼你可以引入相應的序參量，然後自洽平均場算出一個自洽的序參量就可以了，比如BCS理論就是這麼做的。這個方法很好用的，但是這個方法有點兒先入為主的嫌疑，人們更想知道，為甚麼系統明明容許CDW, SDW和 BCS三種通道失穩，最後只剩下BCS了，為什麼不可以是CDW或SDW,甚至共存相呢？我必須地指出，這些關於各個通道失穩和競爭的動力學分析，都是非常前沿的凝聚態多體問題的課題，關於這方面的研究眾說紛紜，非常依賴具體的研究方法：比如密度矩陣重整化群[Ref:White, PRL 69 (1992): 2863.]，泛函重正化群[Ref: 10.1103/RevModPhys.84.299]和數值重整化群[Ref:Shankar, RevModPhys.66.129]等,還有其他一些嚴格方法等就不給參考文獻了。我不想涉及重整化方法，本文就平均場而言，那意味著我『先天的』知道肯定會出現超導序參量，接下來的有意義的問題，「這個序參量跟什麼有關係？」研究發現，這個序參量跟費米面的嵌套結構(nesting)和態密度有很大的關係。細節就不展開了，有興趣的讀者可私信與我討論。

圖2：重整化群中的CDW, SDW和BCS通道失穩[ref:Shankar, RevModPhys.66.129]。

3.題主問的第一問題是「（1）這種費米面有平庸電子態和非平庸的能帶交叉點的體系在輸運或光電子能譜（ARPES）上能探測出來Dirac或Weyl點嗎？」，細節可以參看我在回答與Weyl半金屬相關的討論。簡單來說，是能探測出來的。一方面Weyl半金屬非平庸能帶，在輸運行為上會導致負磁阻效應(特別是當電場E與磁場B平行時)，這一特徵已被大量報道了。另一方面Weyl半金屬非平庸能帶，形成成對Weyl點被Fermi Arc連接著，ARPES中可以看到兩個特徵，一個當然就是Fermi弧了，另一個就是Dirac cone的線性體帶色散。但是對於像WTe2這種第二類Weyl半金屬，它的表面態費米弧深埋在體帶中，ARPES中表面態信號太小，很難觀測了。

好了，說了這麼多廢話。接下來我將回答的問題就是：怎麼讓Weyl半金屬超導？Weyl半金屬中超導配對（S-wave,P-wave等）有哪些可能的形式？然後哪些超導配對可能是拓撲非平庸的？希望我的回答沒有把題主的問題理解錯。最終的答案如下圖所示即FFLO配對和BCS配對，具體分析如下：

圖3：Weyl半金屬中的Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov(FFLO)配對和BCS配對。

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Weyl半金屬中的超導配對對稱性分類

------Yiming Pan (楓林白印)（原創，轉載請註明出處）

為了描述3+1維Dirac方程（對於1+1維的情況可參看文獻[1-14]），引入16個Gamma矩陣 $Gamma_0,Gamma_{mu},Gamma_{mu u}$ 構成一組完備集[14]。仔細分析一下這個完備集，在Lorentz變換下， $Gamma_0$ 代表標量， $Gamma_5$ 代表贗標量， $Gamma_{mu}$ 代表矢量， $Gamma_{5}Gamma_{mu}$ 代表贗矢量而 $Gamma_{mu u}=frac{1}{2i}[Gamma_{mu},Gamma_{ u}]$ 則代表張量，這些Gamma矩陣滿足Clifford代數 ${Gamma_{a},Gamma_{b}}=2delta_{ab}$ 。考慮一個有質量的Dirac Hamiltonian，

其中為了簡便把費米速度單位化了。由於三個動量分量在時間反演和空間反演變換下都會變號（ $k_ileftrightarrow -k_i$ ），因此矩陣 $Gamma_{1,2,3}$ 也必須在兩種變換下跟著變號，但是 $Gamma_{4}$ 則保持不變。我們來看， $Gamma_{5}=-Gamma_{1}Gamma_{2}Gamma_{3}Gamma_{4}$ 矩陣在TR和I變換下也變號。最後剩下的十個Gamma矩陣也可以根據時間反演和空間反演變換下的奇偶性可分成三個矢量 $f{b,b$ 和一個標量 $epsilon$ ，它們的變換性質列在表4中。從表1中，可以很直觀地得到一個結果，如果系統同時具有時間反演和空間反演對稱性，那麼所有的10個質量項都將被排除，只有Dirac質量項m是容許的。那麼接下來，我們將放鬆這兩個對稱性的約束，看看如果也容許其他質量項存在，系統會進入什麼相中去。

表1：Gamma矩陣的在時間反演(TR)和空間反演(I)對稱性的變換性質。

現在，在Weyl半金屬正常相中引入相互作用，然後對相互作用進行一些劃分，這樣在相互作用導致失穩或相變時，可以預先了解各個如CDW，SDW或BCS通道中可能存在的平均場。形式最簡單也最常見的相互作用就是在位Hubbard相互作用[15]，

其中一個單體常數項被吸收到化學勢中去。考慮Weyl半金屬 $Psi=(psi_R,psi_L)$ 存在兩個不同手征性的動量空間分離的Weyl費米子，把相互作用作一個投影，並得到，

其中定義手征密度運算元 $ho_{L,R}=psi_{L,Ralpha}^{dagger}psi_{L,Ralpha}$ 。雖然在位Hubbard相互作用是一個自然的猜測，但是為了更完整得討論相互作用的形式，開始考慮一個更一般化的作用量，

其中 $g_{AB}$ 是一個16*16實對稱矩陣有136種獨立的形式，而。這麼多種相互作用可以通過對稱性分解為幾類，從而可以大大簡化V的形式。為了接下來計算方便，給出一個Gamma矩陣的具體結構，

另外還剩下十個張量形式的矩陣可寫成，

其中 $mu u=1,cdots,5,mu><br /> u$ 。

而我們熟悉的Hubbard相互作用就是其中一種情況，即U&>0。對上面約化的互作用V作RG（重整化群）分析，由於RG分析比較複雜直接省略計算過程只給出結果，我們發現這個互作用會導致粒子-空穴通道SDW序首先出現失穩，而粒子-粒子通道超導序則不會失穩。

好了，互作用失穩會產生新的序參量，這些序參量作為質量項進入Dirac方程。現在用平均場把這個SDW表達出來吧。

其中 $m_4,m_5$ 是實的。這個平均場單粒子色散為 $E_{pm}=pmsqrt{p^2+m_4^2+m_5^2}$ ，是能隙完全打開的。這個系統基態帶自發磁化，沿著z方向，

其中表示Weyl點在相空間中的動量分離量，而磁化強度 $M_z(r)$ 則在實空間中因此被周期調製了。最後，再提醒大家另一篇文章得到的失穩相卻是CDW序，是Wang和Zhang提出來的[23]。他們從一個特定的四費米子互作用出發並通過平均場分析得到了CDW基態，和我們從一個一般化的相互作用並通過RG分析辦法並不相同。

以上考慮的互作用是排斥的，如果通過交換聲子得到吸引的互作用(U&<0 in Eq.5.22-23)，那麼就可以發生超導通道失穩，並形成兩類配對行為：一個實有限動量Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov(FFLO)配對和BCS配對，如圖3所示。接下來，要做的事情就是找出所有可能的配對項並作對稱性分析[15,24-30]。一般地，費米子配對可以分解為，

因此對於一個超導項，其平均場Hamiltonian為，

其中 $Delta=-Delta^T$ ，是一個反對稱矩陣。可以用16個Gamma矩陣來展開配對項， $Delta=Delta_AGamma_A$ ， $Gamma_A$ 其中為線性獨立的反對稱Gamma矩陣，共有六個為 ${Gamma_2,Gamma_5,Gamma_{13},Gamma_{25},Gamma_{34}}$ 。把它寫到動量空間的Nambu表象中去，

其中

其中 $pcdot Gamma=p_1 Gamma_1+p_2 Gamma_2+p_3 Gamma_3$ ,指標A求和，另外基矢為8分量旋量 $Phi(p)=(Psi(p),(Psi^{dagger}(p))^T)^T$ ,

我們希望知道超導序參量在各種對稱性變換下如何變化，這是所關心的問題。對配對項作一個旋轉變換，

代入 $R( heta)=e^{-i heta Gamma_{12}/2}$ ，我們得到

用上面這個變換，發現 ${Gamma_2,Gamma_{13},Gamma_{14}, Gamma_{25}}$ 四個矩陣在變換下為標量，即

因此四種超導配對保持轉動對稱性。那麼剩下兩個矩陣 $(Delta_5,Delta_{34})$ 則構成矢量

也就是說，如果考慮一個組合項，

在旋轉變換下，將保持原本的形式，只是需要用新的參數來替代 $(Delta_5$ ，並滿足

這樣可以保持 $|Delta_5$ 。但是選擇一組特定的 $(Delta_5,Delta_{34})$ 就會打破旋轉對稱性。

表2：超導序在離散對稱性CPT的變換性質。

類似地，作一個手征旋轉變換，

帶入 $R_{chi}( heta)=e^{-i heta Gamma_{45}/2}$ ，我們得到，

同樣的分析過程，可以發現四個矩陣 ${Gamma_5,Gamma_{14},Gamma_{25}, Gamma_{34}}$ 在變換下為標量，而剩下兩個矩陣 ${Gamma_2,Gamma_{13}}$ 構成矢量。

最後關於離散對稱性CPT，就不具體分析了，直接參看錶2。需要說明的一點是矩陣 ${Gamma_2,Gamma_{13},Gamma_{14}, Gamma_{25}}$ 是FFLP配對，而 ${Gamma_5,Gamma_{14},Gamma_{25}, Gamma_{34}}$ 則是代表BCS配對。另外關於發生超導通道失穩時，FFLP配對和BCS配對哪一個會最先成序的討論，參看文獻[26]。以上關於拓撲半金屬的超導相的分類思想，如何能夠幫助材料上尋找這些拓撲相和超導相，可參看相關文章的討論[31-37]。

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實驗上，拓撲超導體什麼的，大部分都是這麼做的，把一個拓撲絕緣體外爾半金屬什麼的跟一個平庸超導體放一起就行了。。一直不理解他們在實驗上用近鄰效應引入超導的原理，總覺得像作弊一樣。。

這個材料不超導，沒關係，我們在旁邊放一個超導體，你看，它不就變超導了嘛。。

至於別人弄理論計算，感覺更無賴，哈密頓量上直接加個超導序參量，拓撲超導就這麼欽定了。。

前面的答案信息量好大，我試著給一個簡短的回答，不討論理論上實現的細節，只想作為一個做實驗的說明一下直觀圖像。首先，拓撲超導的意思不是簡單的拓撲+超導，而是一種滿足particle-hole symmetry的新的拓撲分類，這就隱含了p-wave的條件。所以想找到拓撲超導首先要實現的是p-wave超導。現在已經有很多toy model，通過s-wave induced proximity超導來實現拓撲超導。s-wave如何能變成p-wave？通常藉助的就是能帶自身的spin texture，我們熟知的拓撲絕緣體、nanowire和magnetic atom chain都是此原理。

下面回答題主的問題。如果拓撲金屬的Dirac/Weyl點有所需要的spin configuration，原則上我認為是可能的，這樣自然也就排除了Dirac semimetal （因為有spin degeneracy）。現在有一種材料 $m {Fe(Te_x Se_{1-x})}$ 人們高度懷疑它是拓撲超導，是由bulk的普通s-wave超導induced表面態超導，表面態是拓撲的，有spin-helical states，於是自然其形成的超導就有p-wave成分。可以參考下面的文獻。

匆忙寫下的，如有問題請指出。

Ref:

[1] Zhijun Wang et al., Topological nature of the FeSe0.5Te0.5 superconductor. Phys. Rev. B 92, 115119 (2015).

[2] Xianxin Wu et al., Topological characters in Fe(Te1?xSex) thin films. Phys. Rev. B 93, 115129 (2015).

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[4] [1706.05163] Observation of topological superconductivity on the surface of iron-based superconductor