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怎樣利用格理論，也就是 minkowski 基本定理來證明拉格朗日四平方和定理以及費馬平方和定理?

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monkowski 定理運用到數論形成幾何數論，很想知道上述兩個定理是怎樣由它導出的。二維情形下凸集的面積很好理解，而 n 維情形下凸體體積很不好理解。請各位大牛幫忙解答

為方便閱讀這裡陳述一下Minkowski定理： $L$ 是 $mathbb{R}^n$ 的格子， $S$ 是 $mathbb{R}^n$ 的緊、中心對稱凸集，若 $S$ 的測度 $geq$ $2^n$ 倍 $L$ 的體積，則存在非零向量 $vin Lcap S$ .

以Fermat平方和為例

基本的想法是這樣的：

給定 $pequiv 1pmod 4$ 是個素數，若能找到非零 $(x,y)$ 屬於下列兩個集合就搞定。

$A={(x,y)in mathbb{Z}^2|x^2+y^2equiv 0 pmod p}$ $S={(x,y)in mathbb{R}^2|x^2+y^2leq 1.9999p}$

$A$ 雖然本身不是格子，但包含一個二維的格 $L$ ，且 $L$ 的體積與 $S$ 的測度 恰好匹配Minkowski定理中的條件，那麼 $(x,y)$ 就找到了。

細節（並不困難，大可不看）：

由於存在 $ain mathbb{Z}$ 使得 $a^2+1equiv 0 pmod p$ ，那麼在 $mathbb{F}_p$ 中， $x^2+y^2=(x+ay)(x-ay)=0$ 。

取 $L$ 為滿同態 $f:mathbb{Z}^2longrightarrow mathbb{F}_p,(x,y)mapsto x+ay mod p$ 的Kernel。

則 $L$ 的體積 $mathrm{vol}(L)=p$ ，而 $S$ 的測度 $m(S)=pi 1.9999p geq 4mathrm{vol}(L)$ ，根據Minkowski定理得證！

類似的選取 $A,L,S$ 你可得到 $pequiv 1,3 pmod 8$ $Rightarrow p=x^2+2y^2$ 等

但想得到 $x^2+5y^2$ 時會發現， $m(S)<4mathrm{vol}(L)$ 。所以要調整 $1.99999p$ 到 $2.999999p$ 。但用這個方法至少可以得到

$pequiv 1,9 pmod {20}Rightarrow p=x^2+5y^2 ext{or }2p=x^2+5y^2$

從數域理想角度來看，利用Minkowski定理可以證明如下命題

(這個命題非常重要，代數數論教科書一般都有，它直接導出理想類群的有限，)

對任何非零整理想 $mathfrak{a}$ ，存在 $0 eq alpha in mathfrak{a}$ 使得

$|N(alpha)|leq(frac{4}{pi})^{r_2}frac{n!}{n^n}sqrt{|d(K)|} N(mathfrak{a})$

在我們這裡，由 $pequiv 1 pmod 4$ 得到在 $mathbb{Z}[i]$ 中， $(p)=mathfrak{p}ar{mathfrak{p}}$ , 代入上述命題的各個常數一算再利用 $Norm$ 是整數，知 $mathfrak{p}$ 必是主理想，得平方和定理。

四平方和問題想法也是構造 $A,L,S$ ，也不困難。

具體見Milne 的講義&,Remark 4.20.

能不能請題主介紹一下Minkowski基本定理以及格理論的基本內容？今天老師有講到這個，但完全沒有理解。。。

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