為什麼人們都喜歡用幾何概念外微分來闡述微分的意義呢？

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如題。。
經常看到1Form的說法。
一開始覺得是大家在裝。。後來覺得可能是因為外微分太好用，還是後面有什麼深入發展的知識？

外微分是由Cartan(微分學)在1922年引進的，簡單說來，它的出發點是曲面定向。這使得加在積分中的Jacobian上的絕對值被去掉，因為dx∧dy = -dy∧dx。

由這個最基本的規則出發，如果我們考察Fundamental Theorem of Calculus的一些特殊情形，比如Green formula，Gauss formula和Stokes formula，我們能夠總結出關於∧的一些性質和運算規則，把它們加到微分形式的集上，就導致現在我們熟悉的外代數結構。一般情形的Stokes定理很快就能夠證明。

正如題主所說，外微分的出現不是為了IB，數學上的嚴格性不是通過像外微分這種新技術實現的，這並不是一個完善微積分基礎的過程。顯然，這裡嚴格性的出現是因為藉助於外微分，我們能夠給出流形上積分的嚴格定義(流形上的微積分)，這樣我們能夠說清楚一些事情。

回想高數課本和古典的分析課本，那裡從來沒有出現過曲面上積分的嚴格定義，藉助於幾何直觀推導曲面積分公式，這在任何時候都不是嚴肅數學上承認的做法.

至於後面的發展，那就太多了，這裡簡短說幾點

古代微分之所以落後，究其原因還是觀念的落後，古老的微分沒有映射的概念，觀念完全是標量的，而如今我們都知道微分是以映射為像的映射，是線性的，並非是什麼所謂的增量。這一切都是Cartan的引入外微分後的結果。
說的更遠點，那就是整個現代數學根本性的變化Jean A. Dieudonne 的書Treatise on Analysis裡面有句話：現代數學和古典數學最大的區別，可能在於對於記號f(x)，從前f作為映射，x作為自變數理解為標量。現在我們可以固定x，把x理解成作用在f上的映射。顯然，這段話深刻而形象地概括了很多現代數學分支在觀念上的改變。特別地，作為微分學，f"(x)現在是一個映射，f"(x)(1)是傳統意義上的導數。藉助這個Cartan輕鬆證明了Gauss曲率是內蘊量。
再深遠的影響就是對偶的觀念。通過這個概念，我們把一維的表示，幾何和代數統一了起來，這都超出了本文討論的範圍。

因為1-form本身就有無窮小的直觀。

設有一個流形M，上面任取一點p。考慮點p附近(即有個p的鄰域上)所有為零的光滑函數構成的集合A，我們來看A/A^2，他的元素實際上就是所謂的一階小量，因為我們模掉了A^2，即模掉了高階小量。這時候A/A^2的元素就被稱為點p處的1-form，可以看到，他就是光滑函數的一階無窮小部分。

所謂的外微分運算元就是A到A/A^2自然的商映射。當然經常我們還會補上，d對常數作用為零。

當然上面的說法不算很精確，實際上，流形上一點的光滑函數構成了一個局部環，而A就是他的極大理想，A/A^2有自然的矢量空間結構，被稱為餘切空間，從上可見，餘切空間的元素就是那些一階無窮小。

至於更高階的form就是其他故事了，當然，他和積分聯繫緊密，cartan的出發點就是積分曲面的存在性（或者pfaff方程組），前人搞出來的2-form啟示了他搞出來一般的p-form.

個人認為還有個重要原因是可以由differential form定義de rham上同調，可以描述流形的拓撲性質。。。