現代幾何的方法在概率論研究上有什麼應用？

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在做一道有關隨機數生成的題目時，發現問題最終可以歸結為求一個參數網，使得某個曲面在該參數網下的高斯係數定常，於是就很好奇有沒有用現代幾何的方法，比如微分幾何，微分流形（好吧，其實也不是很現代）來解決概率問題的例子。

正好有一門學科是用微分幾何研究概率問題，叫做信息幾何(Information Geometry)，完全滿足題主的要求。這一學科最早可溯源到統計學家Rao，他把概率密度函數的全體看做流形，把Fisher信息看做是黎曼度量，用測地距離表示概率密度函數之間的距離。Rao未能在這個方向上深挖，真正將這個思想發展成體系的是日本人Amari，他計算了一維正態分布函數所對應的流形，發現它具有-1/2的常曲率，為一雙曲流形。Amari還引入了對偶聯絡的概念，使得指數分布族在e聯絡下平坦，混合分布族在m聯絡下平坦。進而引入了大流形向子流形投影的概念，以及畢達哥拉斯定理。使得流形上的檢測與估計成為可能。後來又有一幫人把協方差矩陣的全體視為流形，從而把李群和李代數也引入了信息幾何。如今信息幾何用途廣泛，但由於需要的數學基礎較深，學EE的往往少有深入研究該學科的。而學數學的又往往醉心於理論，對實際應用背景的了解不夠深入。另外演算法複雜度也是問題，很多時候用流形做一遍，性能相比歐式空間提升有限，但複雜度大大提升。這都導致該學科目前在學界不溫不火，尤其在國內研究的人更少。但未來一定會有更多的人研究這一學科，對非線性問題，流形所能提供的高層次視角是歐式空間所不能給予的，隨著對非線性問題研究的越來越深入，各個工科很有可能都會遇到流形。題主有興趣可以參考Amari2015年的新書Information Geometry and Its Application，全面總結了當代信息幾何的發展與方法論，遺憾的是沒怎麼講基於矩陣流形的信息幾何。這部分可參考法國人Barbaresco的論文，他利用矩陣流形設計了雷達系統的恆虛警檢測(CFAR)演算法，並在戴高樂機場進行了實驗測試，我記得結果似乎比傳統CFAR提高了大概3個dB。

我聽過Cédric Villani的一個報告，其中他將一些經典流形上的幾何量（例如Ricci曲率）等等推廣到了概率測度空間上。他的出發點是為了解決最優運輸問題，本質上其實是在做一些微分方程的理論。

如果你對他的工作感興趣，可以去他的主頁：http://cedricvillani.org/查看。