怎麼證明連續勢比可列勢大？

比連續勢更大的勢是什麼？

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謝邀

首先，可列勢即為自然數集N的勢，連續勢即為實數集R的勢。由N→R的恆等映射知|N|&<=|R|。現說明不等即可。

如果R是可列的，那麼R={a[0], a[1], a[2], a[3], ...a[i]..., i∈N}。我令Ω: n→(n+1)%10。構造數ζ，滿足ζ的小數點後第i位=Ω(a[i]的小數點後第i位)，ζ的整數部分為0。顯然ζ∈R，而ζ?{a[i],i∈N}(與每個數至少有一位不相同)，這構成了一對矛盾。

所以|N|!=|R|，所以|N|&<|R|.

至於比連續勢更大的集合，當然是存在的。那就是R的冪集P(R):={A|A?R}。這個證明即為Cantor基數定理（一個集合的勢嚴格小於它的冪集的勢），證明請自行搜索。

By the way, |R|=|P(N)|。如果你證明了這個命題，且知道Cantor基數定理，那麼連續勢比可列勢大就很顯然了。

敘述不是最嚴密，了解意思就好。。。

如果有人奇怪為什麼要構造Ω而不是說「找一個與a[i]的小數點後第i位不同的數」之類的話，它的原因是為了規避Axiom of Choice.

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@Vinogradov這位仁兄答的已經很好了，來補充一下。

沒有最大勢的證明是證每個集合的冪集的勢都嚴格大於它本身，證明很容易找到，手機無力

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