為什麼說石墨烯在發現前被認為是不可能存在的？

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RT，是因為量子力學的不確定性么？發現石墨烯對量子物理有什麼革命性的改變么？

「有限溫不存在理想的二維晶體」是一個統計力學結果，和量子力學沒什麼關係。 @梁昊的回答基本解釋了這個問題，我這裡補充一個論證。

我們首先假定存在一個二維晶體，並考慮熱漲落對其穩定性的影響。設對於平衡位置的偏移為 $u(r)$ ，對於每一個新構型都可以考慮它的自由能的漲落，在最簡單的情形下我們將自由能對偏移量做展開 $Delta F=frac{V}{2}sum_{j}int_rd^2rAigg(frac{partial u(r)}{partial r_j}igg)^2$

傅里葉變換可得 $Delta F=frac{V}{2}int_kd^2kAk^2u_ku_{-k}$ ，其中 $u_k$ 是 $u(r)$ 的傅里葉變換。

由統計力學對於一個二次型自由能我們知道 $<u_ku_{-k}>=frac{T}{V}frac{1}{Ak^2}$

於是 $<u^2>=Vint_kdk<u_ku_{-k}>=frac{T}{A}int_kd^2kfrac{1}{k^2}$

這個積分顯然是log型發散的，積分上限即k極大時對應系統的短程性質，我們可以很自然地假設一個截斷（i.e. 原子半徑的倒數），不影響後面的結論。而積分下限即k極小時對應體系的長程性質，換句話說 $<u^2>$ 隨著二維晶體的增大而對數發散，而 $<u^2>$ 即系統對於平衡位置偏移量的平方平均值，這個量的發散也就意味著晶體的融化。

（從這個論證中也不難看出三維晶體為什麼可以存在——最後對動量的積分變成三重後，下限處的發散自然消失了。）

此論證由朗道【統計物理I】經過簡化而來，其實有不少微妙的地方，尤其是為什麼假設 $Delta F$ 是這樣的形式（為什麼只含偏移的微分，為什麼不含偏移的一階導而含一階導的平方，為什麼不考慮更高階倒數，etc），原文（section 137）中對此有一個更加一般的討論。

順便@王少莘也提到了通常所說石墨烯並不適用以上結論，因為一般而言的石墨烯是在一個三維體系的界面或者說襯底上得到的，真正的懸空的石墨烯會自發地蜷曲，在垂直於平面的方向上有1nm左右的起伏（The structure of suspended graphene sheets）。

上個學期上田光善老師的平統討論班，專門講過這件事情。我大概說一下

從統計物理出發可以證明 Mermin-Wagner 定理，這個定理講的是：任何具有連續對稱性的二維熱力學系統，在非零溫下，其連續對稱性不可能發生自發破缺。

對於一堆被約束在二維平面上的原子，其間的相互作用都對所處的空間絕對位置沒有依賴，並且沒有外加的場。那麼這個系統具有空間平移對稱性，即將全部原子同時任意平移一個距離，這些原子感受不到區別。

若這些原子形成了周期性的晶格，就像石墨烯那樣。我們會發現，將全部原子同時任意平移一個距離，整個系統的狀態一般會發生改變（除非按晶格周期的整數倍進行平移）。這個就被稱為連續的空間平移對稱性破缺了——對稱的原因並沒有導致對稱的結果。

依據 Mermin-Wagner 定理，在非零溫度下，這個情況是不可能發生的。一個大致的物理解釋是，在小於等於二維時，若出現有序（即連續對稱性破缺），Goldstone 玻色子的總能量會發散，以至於破壞有序（這句話我自己並不太懂，只是聽田老師這樣說的...以及看那個證明過程的確有點像這麼一回事）

所以，在得到這個定理之後，物理學家一般不對找到二維晶格抱有期待。即便我們可以說，嗯，現實中沒有完全嚴格的二維繫統，大家也一般會說，這個條件放鬆了，最多也就是定理對應的非零溫這個條件放鬆一點——大概在相當低的溫度下可能找到准二維晶格——但意想不到的是，室溫下就能找到石墨烯這種東西。

（其他幾位同學指出，自由石墨烯的「准二維」距離二維真的比較遙遠，在垂直於平面上的方向有納米級的起伏；另外一般討論的石墨烯都是製備在襯底上，這不滿足定理要求的無外場）

據此，田老師也講過好幾遍：石墨烯拿到了諾貝爾獎，不是因為它有什麼什麼用，而是因為它對這個定理的「違背」，讓人們震驚，而石墨烯本身，很可能並不比其他新發現的材料更有用。

（這個只是一家之言，大家自行鑒別）

Mermin Wagner 定理最開始是在二維海森堡模型上被證明的：二維海森堡模型描述的是二維晶格（別說自相矛盾...畢竟只是模型）的各個格點上存在磁矩，彼此相互作用，該定理證明了這個體系不可能出現自發磁化，即自旋的SU(2)旋轉對稱性不會破缺。

原始論文見

Phys. Rev. Lett. 17, 1133 (1966)

將這個定理推廣至空間平移對稱性的論文見（我並沒有看懂）

Fr?hlich
,
Pfister
:
On the absence of spontaneous symmetry breaking and of crystalline ordering in two-dimensional systems

關於這個問題的現狀可能可以看這篇綜述（我並沒有看）

Graphene-analogous low-dimensional materials

以及，這個定理不止在量子體系中成立。基於經典的哈密頓系統，同樣可以完成證明。

最近關注石墨烯，發現個很有趣的現象，網上的石墨烯介紹感覺無所不能，和當年的納米材料何其相似，各種石墨烯的概念股各種以石墨烯為噱頭的相關產業新成立公司，感覺和當年的納米二字一樣，納米襪子納米粽子感覺只要沾上了納米，現在沾上了石墨烯幾個字立馬高大上立馬高科技

2015-09-03

單層原子的二維結構會因為熱擾動變得很不穩定，以致石墨烯現在還是以人工合成方式取得，並不單獨存在於大自然中。

其實石墨烯的諾獎是比較有爭議的，搬得太快。也不能說他改變了什麼重要的認識。相關的話，C60拿獎，碳納米管沒拿。這個材料本身還是有不少獨特性質的，有效電子質量為0，量子霍爾效應，強度啊，導電啊，二維晶格。我覺的獲獎還是因為被引用的太多了，熱門研究領域多，當然也和現在科研風氣愛炒作有關，這幾年應該是有所下降吧。本身石墨烯也不是平的，是起伏的，這樣p鍵會一部分重疊，可以降低能量，具體可以看早期的幾個文獻。

而且石墨烯本身製備和產生還是比較容易的，也比較穩定，可以直接用鉛筆一划就有。最開始的問題是難以鑒別分離，一開始是用的光學顯微鏡。現在主要是用化學方法合成，好像是化學氣相沉積吧。

做化學的不太懂高等物理的東西，但是請聯繫量子力學的一個重要概念，量子霍爾效應。這個概念前後兩次摘下了諾貝爾物理學獎。簡單地說就是給電子指定運動規則，而不是無規則的運動。在這個規則下，電子高速公路是有可能的。具體體現在實際生活中，可以以電腦晶元為例。電子雜亂無章的運動，大部分的能量用於發熱，首先導致的是能量利用率低。但是如果能夠控制電子定向運動，不僅能耗低，而且運算速度也會極大的提升。對於石墨烯而言，因為它使得室溫下的量子霍爾效應成為可能，所以這應該算是石墨烯對量子力學的最大貢獻。另外，電子在石墨烯中的質量為零，超高的遷移率和超低的電阻也使得許多極其精細的物理實驗和設備成為可能。這方面的因素也是IBM Intel花巨資去研究石墨烯的原因。

個人認為石墨烯的發現，給人們思維模式的啟示意義，要遠遠大於材料本身的意義。宏觀的自然是連續的，圍觀的世界是量化的。所以既然零維，一維，三維都穩定存在，為什麼二維材料不能？

石墨烯是由單層碳原子構成的，而這應該不太可能存在，個人理解