注音符號「ㄝ、ㄜ、ㄟ」有什麼區別？

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我所知道的注音對應內地拼音是這樣的：「ㄝ－y」「ㄜ－e」「ㄟ－ei」。
「傑」字為什麼是ㄐㄧㄝ，而不是ㄐㄧㄜ或ㄐㄧㄟ？「傑」字所對應的漢語拼音是「jie」。

另外，為什麼會有「ㄝ－y」這個符號？

題主錯了。上一位答主寫了不少，但是似乎並沒有答到點上，並且還有不少錯誤。
題主錯的地方是，誤以為「ㄝ」對應「y」。事實上，「ㄝ」所對應的漢語拼音是「ê」。
大家都知道，ü在聲母j、q、x後面時，要省略上面兩點，寫作u。
實際上，還有另外一個省略，只是很少提及：ê不單用時，一律省略上面的尖帽，寫作e。
所以，ie實際上是iê，üe實際上是üê。
那麼題主的問題都迎刃而解了。
「傑(傑)」的注音是「ㄐㄧㄝ」，而拼音實際是jiê，省略尖帽之後就是jie。

至於y，是用來表示齊齒呼與撮口呼零聲母的。

齊齒呼零聲母時：若i是唯一母音，則在音節前加y；若i不是唯一母音，則把i改為y。

撮口呼零聲母時，在音節前加y，同時省略ü上兩點。

分別念se、sa、he（逃

乍看以為是在說日語平假名。。

ㄝ－ê，ㄜ－e，ㄟ－ei。

漢語拼音有省略、簡寫，ê 不獨用時簡寫爲 e。還有譬如「wei」對應「ㄨㄟ」，「zhui」對應「ㄓㄨㄟ」，實際上是「zhuei」的簡寫，要注意。

「ㄐㄧㄝ」對應漢語拼音「jiê」，因爲普通話音系裏沒有「ㄐㄧㄜ」，所以「ê」可以省略爲「e」，寫成「jie」。

沒查過什麼專業的東西，也因為身處大天朝的底層沒和高大上的人有過交流。所以以下就是我這個大ㄉㄧㄠˇ ㄥㄦ的閉門造車。（另外，原諒我不打繁體字，雖然簡體字系統我個人認為還會有諸多改進，比如向繁體回歸一部分，但它畢竟也是一個文字系統進化的先驅，也是漢字的一個趨勢。作為國人應該兩種字元都同等對待才對。電腦都可以裝個雙系統何況人呢，更何況簡繁之間也就半個系統的差別）。

首先，漢語拼音以外國人編寫的拼音方案（主要為威妥瑪拼音）和民國時期確立的注音符號系統為基礎，發音方法和規則基本繼承了注音符號的規則。所以漢語拼音和注音方案十分相似，但漢語拼音方案更加簡便，注音方案更直觀。

（一）眾所周知，漢語拼音方案包括字母表、聲母表和韻母表。漢語拼音是沒有注音符號里的介母的。而你的問題主要出在韻母表中。拼音中韻母表可是要簡單得多了，他只有六個主要韻母：aㄞ（ㄚ）、o（ㄛ）、e（ㄜ）、i（ㄧ）、u（ㄨ）、ü（ㄩ）。韻母又通過組合形成注音符號系統中的其他韻母。比如，ai（ㄞ）ei（ㄟ）等等不一而足。

您所說的ㄝ是注音符號系統里的一個韻母，它的字源是也，即是「也」的變體，發音也基本一樣（至少我自己這麼拼）。漢語拼音中若要給「也」注音的話，得是這樣：ie（經過一系列的規則變化變成：yě）。但是注音字元里是這樣：ㄧㄝ（注音符號里必須這麼拼）。也就是說漢語拼音對注音符號系統作了一個更改，刪掉了ㄝ這個基本的韻母，直接用ie來拼讀「也」。因為ie似乎也能拼出「也」的讀音來。換言之，正如同簡化字之於繁體字，拼音中的e對應注音符號里的ㄜ和ㄝ，變成了一個多音韻母。

所以ㄝ在漢語拼音中對應的字母可以理解為是e，而且ㄝ就是現代漢字也的變體，是注音符號系統中基本韻母符號之一（而且是ㄚㄛㄜㄝ，處在第四位，它不同於其他９個韻母，是不需要介母組合就可以發出自己的音的）。

（二）ㄝ的問題解釋清楚了，接下來就是y的問題了。漢語拼音為了追求形式上的統一（基本的形式是一個聲母加一個或幾個韻母，聲調一定加在主韻母上），對注音符號系統里的介母的書寫規則作出了規定，i之前沒有聲母的時候，前面就要加個漢語拼音字母表中的y。相應地原介母u、ü和原韻母e也有一套自己的書寫簡化規則。比如ㄣ（en）和ㄥ（eng），以i為例，最初形式分別為iēn和iēng，經過第一步簡化為īn和īng，下一步就要引入y了。前面已經說過，拼音方案中規定i或者i主導的韻母前面無聲母時必須加y，所以進一步變成yīn和yīng（如果對小時候的漢語拼音學習過程有印象的話，我們大陸人一般是作為直讀音節學習的）。故y和ㄝ不是對應關係。

寫了這麼多，差不多能解釋清楚了。

說到底，是注音和拼音對漢字讀音的分解規則不一樣。因為這兩者雖然用於表音，但不是音標，所以不能完全反映出漢字的讀音。除去普通話和國語的某些字讀音不同，單說對於漢字讀音的分解，兩者也有若干不同。比如-in，-ing，漢語拼音認為這就是單獨的一個韻母，而注音認為是i加en，i加eng。注音有en，eng對應的注音字而沒有in，ing，想表達這個音，注音用了兩個韻母的組合（沒有注音輸入法，只能用拼音對應的代替），同樣的，題主提的問題，是覺得拼音和注音必須是一一對應的，但其實上不是。所以會注音的想學拼音或者會拼音的去學注音，只能求同存異，記住一樣的，理解兩者不同的。