斜橢圓怎麼從一般方程轉化為參數方程？

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討論中心在直角坐標系原點的斜橢圓
一般方程： ${x^2over{a^2}}+{y^2over{b^2}}+nxy=1$
求參數方程： $x=x( heta)$ ， $y=y( heta)$ ．

係數矩陣對角化，對角化過程中算特徵值得到的特徵向量再正交化就得到了坐標變換矩陣。對角化後二次曲線就是標準形式，參數方程很容易寫出來，再通過之前的得到的坐標變換矩陣就可以得到原坐標下的曲線參數方程

假設直橢圓的表達式為： $frac{x^2}{A^2}+frac{y^2}{B^2}=1$

設主動變換方程，即把直橢圓逆時針旋轉 $eta$ 的表達式為：

$egin{bmatrix} x$

或者： $egin{bmatrix} x \ y end{bmatrix}= egin{bmatrix} coseta sineta \ -sineta coseta end{bmatrix}egin{bmatrix} x$

代入直橢圓表達式，得：

$x$

然後待定係數，解方程以下就可以了。

$frac{cos^2eta}{A^2}+frac{sin^2eta}{B^2}=frac{1}{a^2}\ frac{sin^2eta}{A^2}+frac{cos^2eta}{B^2}=frac{1}{b^2}\ 2(frac{coseta sineta}{A^2}-frac{sineta coseta}{B^2})=n$

下面李陽的答案是線性代數中對角化二次型的方法，也不錯：

即尋找正交變換，使係數矩陣

$egin{bmatrix} frac{1}{a^2} frac{n}{2} \ frac{n}{2} frac{1}{b^2}end{bmatrix}$ 對角化的方法

先旋轉坐標系一個角度 $phi$ 使得橢圓方程在新坐標系 $(x$ 下為正橢圓, 簡單參數化即成為 $x$ , 然後根據旋轉變換關係再把坐標系換回去就行了.