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抽象代數數學數論

如何證明26是唯一夾在一個平方數和立方數間的正整數？

12-31

即 $26$ 是唯一的正整數滿足 $26=a^2+1=b^3-1$ ，其中 $a,b$ 都是整數。

數論里有很多問題看似簡單, 其實需要較高級的工具才能解答. 下面的證明需要大學基礎代數知識.

假設 $x,y in mathbb{Z}$ 滿足 $x^2+1 = y^3-1$ , 則 $y^3 = x^2+2= (x+sqrt{-2})(x-sqrt{-2})in mathbb{Z}(sqrt{-2})$

首先發現 $2 mid y$ , 否則 $8|LHS$ , 但 $x^2 equiv 0 ext{ or } 1 ( ext{mod} 4)$ .

我們知道 $mathbb{Z}(sqrt{-2})={a+bsqrt{-2},a,bin mathbb{Z}}$ 是一個UFD(Unique Factorization Domain, 唯一因子分解整環). 對於每個不可約 $r|y$ , 有 $r| x+sqrt{-2}$ 或者 $r| x-sqrt{-2}$ ，如果同時滿足兩者，則 $r|2sqrt{-2}$ . 但 $2 mid y$ , 所以 $r=pm 1$ .不妨設 $y = y_1ldots y_k$ ，其中 $y_1, ldots, y_kin mathbb{Z}(sqrt{-2})$ 不可約.

由於UFD, 我們得到對於每個 $iin{1,...,k}$ , $y_i^3|x+sqrt{-2}$ 或者 $y_i^3|x-sqrt{-2}$ . 那麼有 $y = z_1z_2,z_1, z_2in mathbb{Z}(sqrt{-2}), z_1^3 = x+sqrt{-2}, z_2^3=x-sqrt{-2}$

現在讓 $z_1 = a + bsqrt{-2}, a,bin mathbb{Z}$ , 展開得到

$a^3 + 3a^2bsqrt{-2}-6ab^2-2b^3sqrt{-2}=x+sqrt{-2}$

實部與虛部分別相等，所以

$(1) x = a ^3 -6ab^2$

$(2) 3a^2b-2b^3 = 1$

從(1)得不到有用信息，從(2)得到 $b|1$ , 所以 $b = pm 1$ . 從而得到 $(a,b) = (pm 1, 1)$ . 故 $x=pm 5$ 是唯一可能解.

帶入原式, 得到僅有 $(x,y) = (pm 5, 3)$ 滿足條件.

更多請參考群、環、域(Groups, Rings and Fields) 或數域(Number Field)相關書籍.

0算不算是夾在-1立方和1平方之間

設a=n+5,b=m+3;

偶數的N次方還是偶數，奇數的N次方還是奇數。顯然a b 奇偶相同。如果 a b 是偶數，設a=2x，b=2y帶入原式有4x^2=8y^3-2，兩邊同除以2，2x^2=4y^3-1，2x^2是偶數、4y^3-1是奇數,不成立。所以a b 是奇數，相應的n和m是偶數。

m n帶入原式有n(n+10)=m(m^2+9m+27)。

m=0，n=0,n=-10是特解。

中間思路有誤，憑我僅存的高中知識無法證明。

所以有個幸運26的遊戲？跟這個有關嗎？

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