什麼是數學？邏輯推理是數學嗎？

12-30

因為要去支教，想講一些邏輯推理和數獨之類的問題，準備教案時突然就想到了這個問題。邏輯推理題里可能一個數字都沒有，為什麼就會被算在數學的範疇之中？數學到底是什麼，到底包含哪些內容？能不能從小學生和專業角度解答一下這個問題，謝謝。

謝邀。

這是個很大的問題。事實上數學的概念一直在擴充，100年前的數學家對數學的理解已經和現代的數學家們不一樣了。所以很難概括數學到底是什麼。但是極粗略地說，數學是關於「範式」（pattern）的學問；所有的數學定理、數學猜想，都可以看成對數學內部的某種pattern的表達。邏輯推理自然跟數學有關；邏輯是數學的工具，更是數學的語言；數學內部的範式就是通過邏輯來得以表達。比如數學定理裡面最常見的「如果，那麼」句式，就是一種自然的邏輯關係。

至於為什麼很多人會認為數學一定要和數字有關，我覺得主要還是漢語命名的問題——數學聽上去就像是「關於數字的學問」。但是比如你看英語, math和number就沒有必然的聯繫。我不知道是誰發明了「數學」這個詞語，在古代並沒有數學這個詞，一般用的是算術或者算學，比如清末民初剛建立現代大學的時候，很多大學裡面還叫「算學系」。而且一個術語的內涵外延都是在隨歷史發展而不斷變化的，比如「幾何」「代數」，這兩個詞的中文命名據我所知都說李善蘭命名的。幾何本意就是多少的意思，也就是丈量土地面積那種概念，但是現代幾何學顯然遠遠超出了計算圖形面積這個範疇；代數本意就是拿字母代替數來進行運算，也就是方程那種思想，但是這顯然概括不了現代代數學的豐富內涵（尤其是群環域模等抽象代數理論）。但是我們延用了歷史記號，只是為了方便而已，絕不代表這個詞語的含義在這幾百幾千年間就必須一直是他原來的意思，這種理解也未免太機械太僵硬了。

當然跟小學生講這些東西也沒多大意思，大部分小學生的認知能力（和語文能力）還不足以理解嚴格的邏輯推導。跟他們講講有趣的數學事實就行了，比如你打算講數獨那也不錯；其實不用關心「這到底是不是數學」，小學生不一定會管這麼多，他們覺得有趣了就什麼都不會管的。。個別天賦異稟的，可以考慮讓他們提前學高年級的數學，甚至可以考慮讓他們學點入門的邏輯學，如果他們的抽象思維能力已經夠了的話。

數學是一種對邏輯推理（個人認為此處用「辨證邏輯」更貼切）進行量化分析的方法論！

總結一下：數學是方法論，邏輯推理是認識觀！

談一下我個人的想法。按照我從小學到大學的數學學習體驗，數學分兩部分。一部分是和數字現實代表意義聯繫在一起的，這部分很直觀，很通俗，容易理解。另一部分是抽象的邏輯，它注重的不是具體數值和現實意義，而是形式與結構，這部分會與現實有很多巧妙對應或相似的地方，但要注意，這種巧合不是偶然的而是有很深刻的內涵的。另外我想談一下自己教妹妹小學數學的經驗。我也和樓主一樣想給妹妹講清楚一些概念和思維，結果發現自己錯了，小孩子不可能理解的那麼深，他們的經驗太少了，所以聽不懂。寒假輔導我的妹妹做作業，我發現她總是喜歡把π當做3.14來用，有時候就寫成符號來計算，最後再求具體值會輕鬆很多。所以我猜測她對π不太了解，於是我問她，老師是怎麼教你們圓的知識的。結果不出我所料，圓的周長和面積公式就是天降的，沒有任何講解，她完全不知道π是幹嘛的。說周長公式涉及到幾何知識可以不講清楚，但也要講一點呀。面積公式完全不講我就認為完全說不過去了，因為在她的練習題中大量涉及到圓環面積的演算法，這種演算法思想加上一些巧妙的思維就可以得出圓的面積等於πr2。我跟她講解後，她完全聽不懂，但我感覺挺好理解的。後來我發現她只會理解很直觀的東西，稍微抽象一點就理解不了。

這個問題有人寫過書，還不止一本，當年分好幾個學派呢，我自己還寫過文章。。。

我個人認為，數學是建立在邏輯、集合論基礎上的，來源於人類觀察自然界的規律。

舉個例子，一米和兩米必然有區別，所以數量關係是存在的。邏輯和集合論大致是同一個東西，是數學的基礎，他們作為理論，可以用來描述世界。

屬於數學，但又不太屬於數學。

邏輯可以算是離散數學的部分，而離散數學，分為數理邏輯，數論，圖論，集合論等等。

說白了，數理邏輯就是把平時的語言轉化為符號表述，後再驗證其為T或者F。更多的是，我們平常交流不會在乎邏輯的嚴密性，邏輯更多的用在計算機領域。因為計算機聽不懂自然語言，而符號語言你需要他的正確性，一旦錯誤計算機會造成很多損失。

另外，告訴題主一句話：邏輯不是萬能的，不能解決一切問題。

=========修改一下，加點東西==========

想給小學生講明白邏輯，可以從最基礎的開始。剛開始不必拘泥於自然語言符號化表述（事實上符號化是最難也是最不好學的部分，許多大學生畢業也不一定能弄懂這東西）直接用自然語言理解邏輯的嚴密性就好。

簡單點，如：如果你考了滿分，你就可以玩遊戲。這句話和「你不能玩遊戲，因為你沒有考滿分」的意義相同（其實不是意義相同而是真值相同）。

至於專業角度……答主資歷尚淺，恐班門弄斧，還是由大神們解答吧。

離散數學表示壓力很大

數學就是宇宙，宇宙就是數學。道生一，一是太極；一生二，二是陰陽；二生三，三是陰陽配合；三生萬物，萬物是萬事萬物。

個人臆想，僅供參考：「邏輯」本身是先驗的，不是數學，正如同"數"不是數學；邏輯推理類似於算數。