呆在池塘中心的老鼠想跑過池塘邊的貓，臨界速度真的是1/π么？

12-30

弟弟的假期作業上的問題，說老鼠跑到一個圓形池塘里，貓在岸邊，老鼠跑上岸就能鑽洞逃生，那麼應該怎麼逃脫？標準答案是在池塘中心沿貓的反向的半徑跑，速度在貓的1/π以上就能逃生。但是突然發覺很多問題：
1.直線跑真的是最優解么？
2.逃脫方式真的是最好的么？
如果逃脫時，同時往一側偏轉，使貓跑的路程多過半個圓弧，會不會更好？
當然，兩者都是勻速，池塘是正圓，貓和老鼠數學學得比我好……

表示計算不能，求詳解……
那個，我現在真的不是在池塘里等解答……
ps，突然想到一個新逃脫方式，記老鼠速度為1，貓為x，老鼠沿半徑略小於R/x的同心圓打轉，，在離貓最遠時直接向最近岸直線跑，x不超過π+1就可以……
話說我真的一直都做錯了么……
會有更好的法子吧？如果沒有，求證明……
pps：@水無痕最優解指的是在貓速度固定時老鼠的速度下限，以及相應的逃脫方式

這個問題其實不清楚。是最短路徑還是最小速度。因為明顯會有不可逃逸速度的問題。

標準答案其實是最小路徑問題，逆推的話需要一定假設。

1.貓不能入水

2.老鼠會自己跑到池塘圓心然後開始逃脫。

如果假設成立，此時老鼠要上岸的路徑恆為半徑r, 而貓的路徑最長為π*r,假設老鼠速度為v，貓是老鼠的a倍，那(πr/aV)&>(r/V)老鼠就能逃脫，a&<π。這就是標準答案。

如果老鼠的路徑不限，那麼如何用最小的速度逃逸就是另一個問題。假設老鼠速度小於貓的1/π，結果就是題主和許多人說的，R/x的同心圓問題，但是到達同心圓的路徑為一條類似費馬螺線的曲線，推導不算麻煩，但這裡不支持公式比較煩我就不寫了，原則是老鼠的切向角速度等於貓的角速度使得他們處於同圓心在一條直線上，同時老鼠在徑向逐漸遠離貓，當到達R/x的同心圓時徑向速度為零，開始直線運動最後在邊界逃生。但是這對最小速度有個要求，就是不能小於貓速度的1/π+1，證明不難，高中數學足夠。

如果速度小於1/π+1老鼠是不是註定逃不走呢？假設貓不夠聰明的話可以，那就不能直接向最近岸直線跑，要用個提前量，引誘貓走一個長弧線，此時可以算得一個三角函數的極值問題，極限是4.6033倍。

總結，

如果貓的速度不超過老鼠的3.14倍，那老鼠可以用最短路徑逃逸，

如果貓的速度在3.14倍到4.14倍之間，那老鼠可以用費馬螺線逼近然後採取徑向直線脫離，

如果貓的速度在4.14-4.6033倍之間，那老鼠用費馬螺線逼近然後採取提前量誘導貓走長弧線逃逸。

如果貓的速度在4.6033倍以上，呵呵，可以呼叫牛了

這個問題沒有你想得那麼簡單,大約十年前在貼吧里已經有了比較系統的解答.

一個比較好方案是鼠沿半徑略小於R/x的同心圓打轉,在離貓最遠時沿切線方向直線游出,原解答似乎證明了這個方案是最佳的,但是我記憶比較模糊了.

搜了一下,速度比在4.61以下老鼠都能跑得了

謝邀。想了很久也沒給出一個明確的答案，總覺得題中後一方案是最優的，姑且把自己的想法寫一下。

最為老鼠來說，它為了避免被抓住，應當和貓隔得盡量遠，也就是在一條直徑上由圓心隔開。在這種情形下貓不論往哪個方向跑都是一樣的（對稱性），於是不妨它就保持之前那個方向就好了。（這裡可能有一些問題，還可以討論，但應該能夠明白我的意思）

假設老鼠速度v1，貓速度v2，湖半徑R，按照上一段的想法，貓沿著某一個方向跑，老鼠始終與其處於同一直徑上，那麼：

φ=v2·t/R

v1·t=s=∫√(r2+r"2)dθ

積分從0到φ進行。第一式表示時間t後貓轉過的角度，因此老鼠也轉這麼多；第二式表示老鼠時間t內的路程，其路徑為r(θ)，r"為對θ的導數。

第一式代入第二式，然後兩邊對t求導有：

v1·R/v2=√(r2+r"2)

或r2+r"2=r02,r0=v1·R/v2

這個方程解為r=r0·sinθ，也就是一個圓。

換句話說，通過這種方式只能跑到離圓心r0的地方，在這個圈之外不可能保持兩者始終處於同一直徑上。從方程上可以看出，從實際意義上也是顯然的。這個圈就是題中後一種方案那個圈。

之後怎麼樣呢？我暫時沒有答案，比較認同直線跑。如果有發現更快的解會再來修改答案的。。。

這需要給出老鼠的最大加速度

這是某個 IBM Challenge 的原題，

IBM Research

@波紋的答案是正確的，threshold=4.6033388，但你們誰點反對了排名這麼低…

逃跑路徑分為兩部分，

第一部分是在R/x的同心圓之內，在這部分中老鼠永遠可以將貓放在自己對於圓心的對立面。

第二部分就是直線逃脫，這點沒有疑問，因為不論此時如何切向運動都是在拉近自己和貓的距離。

所以最後的路徑就像是一個「J」字一樣。

cos(B) = 1/T,
sin(B) = (1/T)*(pi + B).

最後一個方案不行吧？速度突變了90°水滴也做不到啊