數學裡的「良定義（well-defined）」的定義是什麼？
12-30
數學書里有時會說某個概念是「良定義的」，這是什麼意思？怎麼判斷某個概念是否良定義？
謝邀。
良定義的意思就是在定義可能有ambiguity的時候，要檢查一下給出的定義到底是不是清晰的，是不是有意義的。這個詞最常見的用法就是定義映射 的時候，很多情況下是先定義一個
，然後再驗證
跟代表元的選取無關，從而自然地給出了想要定義的f。
90%的情況下，良定義就是 與代表元選取無關的意思；剩下10%可能出現什麼別的數學上的用法我一下子想不起來了。「良定義」這個詞畢竟是一個自然語言的詞語，不是在形式語言裡面通過抽象符號來定義的東西；自然語言裡面任何概念都不可能完全限定死它的含義，永遠都有外延。
補充 @Yuhang Liu的例子.有一種情況是映射的值域單純按定義是比希望的值域大的，需要驗證像確實落在更小的對象里.考慮證明兩個賦范線性空間X，Y的對偶空間直積按照R2上的無窮範數與這兩個空間的直積的對偶空間按照R2上的1範數之間存在等距，那麼可以定義一個從X*×Y*到(X×Y)*的映射F: (f,g)-&>f(x)+g(y)這裡需要檢查F是否是良定的，因為按定義F的像是線性泛函，不顯然有界，需要進一步檢查是否是有界線性泛函.
還有一種情況是定義不是直接給出的，區別商空間的情況，有一種情況是利用Zorn引理給出的，例如證明實Hahn-Banach定理時，對給定全空間X的子空間N上定義的泛函f，需要對所有f的保范延拓F（關於映射的保范延拓構成偏序集，定義域在N與X之間）的任何全序子集B找到一個上界g，這個上界的定義在B的定義域的並集上，x處的函數值定義為一個B中定義域含有x的函數在x處的取值，這裡的定義不顯然是確定的，需要根據全序得到定義的確定性.
就像 @Yuhang Liu 說的，大部分時候都是用在代表元選取上的。
一個函數 是良定義指的是：如果
，而且
，那麼
如果不滿足的話就不是一個函數了，只是一個relation。
具體用法就是，從 裡面取出任意的代表元
，驗證
。
另外要注意和單射的定義區分。
補充一個，比如先給一個函數f，然後定義一個g從A到B如下，若x屬於A交B，則g(x)= x，若x屬於A但不屬於B且f(x)屬於B，則定義g(x)= f(x)。若f( x)不屬於B但f( f( x))屬於B則定義g( x)= f( f( x))，以此類推。只要能夠證明任意x屬於A，有限次f迭代一定屬於B，那麼g就是良定義的
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