這個公式里的∧符號是什麼意思？

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https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form

是wedge product，定義如下：

$wedgecolon hinspacemathcal{A}^k(V) imesmathcal{A}^l(V) omathcal{A}^{k+l}(V)$ ，其中 $mathcal{A}^k(V)$ 為定義在n維線性空間 $V$ 上的alternating k-tensors 所組成的空間（也是線性的）。

$mathcal{A}^k(V)$ 里的元素大概長這樣：

$fcolon hinspace V^k o mathbb{R}$ （或者可以把 $mathbb{R}$ 換成其他某個域？），使得

$f$ 是多重線性的.
$f(v_1,cdots,v_i,cdots,v_j,cdots,v_k)=-f(v_1,cdots,v_j,cdots,v_i,cdots,v_k)$ ，對於任何 $(v_1,cdots,v_k)in V^k$ 以及 $i,jin{1,2,cdots,k},i eq j$ .

所以 $wedge$ 是differential forms的函數值的積，由此可以引申為differential forms的積：比如 $f$ 為k-form， $g$ 為m-form，則 $fwedge g$ 為(k+m)-form， $(fwedge g)(vec{x})=f(vec{x})wedge g(vec{x})$ .

然後人們希望 $wedge$ 滿足如下性質：

$(Associativity):fwedge(gwedge h)=(fwedge g)wedge h$ .
$(Homogeneity):(cf)wedge g=c(fwedge g)=fwedge(cg)$ ， $forall cinmathbb{R}$ .
$(Distributivity):$ 若 $f,ginmathcal{A}^n(V)$ 同屬n維張量空間，則有

$egin{align*} (f+g)wedge h=fwedge h+gwedge h,\ hwedge(f+g)=hwedge f+hwedge g. end{align*}$

$(Anticommutativity):finmathcal{A}^k(V),ginmathcal{A}^l(V)Rightarrow gwedge f=(-1)^{kl}fwedge g$ .
（我們希望能用wedge product 構建出 $mathcal{A}^k(V)$ 這個線性空間的一組basis）步驟如下：對於 $V$ 的一組basis，比如說 ${v_1,v_2,cdots,v_n}$ ，定義線性映射（一階張量） $phi_icolon hinspace V omathbb{R}$ ，使得對於任何 $v=c_1v_1+c_2v_2+cdots+c_nv_nin V$ ， $phi_i(v)=c_i$ .然後定義 $psi_I:=phi_{i_1}wedgephi_{i_2}wedgecdotswedgephi_{i_k}$ ，其中 $I=(i_1,i_2,cdots,i_k)$ 為 ${1,cdots,n}$ 中任一單調增的index序列. 我們希望 ${psi_I}_{ ext{any such }I}$ 可以構成 $mathcal{A}^k(V)$ 的一組basis.
（wedge product結構可以在線性變換下保留）給定任意線性變換 $Tcolon hinspace V o W$ ，定義映射 $T^*colon hinspacemathcal{A}^k(W) omathcal{A}^k(V)$ ，使得對於 $forall(v_1,cdots,v_k)in V^k$ ， $(T^*f)(v_1,cdots,v_k)=f(T(v_1),cdots,T(v_k))$ . 我們希望 $wedge$ 滿足 $T^*(fwedge g)=(T^*f)wedge(T^*g)$ .

經過某些證明，滿足以上性質的函數存在且唯一，於是wedge product被定義為：

$(fwedge g)(v_1,cdots,v_{k+l})=dfrac{1}{k!,l!}sum_{sigmain S_{k+l}}( ext{sgn},sigma)f(v_{sigma(1)},cdots,v_{sigma(k)})cdot g(v_{sigma(k+1)},cdots,v_{sigma(k+l)})$ ， $forall(v_1,cdots,v_{k+l})in V^{k+l}$ . 其中 $S_{k+l}$ 是symmetric group， $ext{sgn},sigma=(-1)^m$ ， $m$ 為可組合為 $sigma$ 的兩兩交換的次數.

參考（抄自）：Analysis on Manifolds by James R.Munkres. Ch. 6.

微分形式(differential forms)中的一個符號

楔積，一種數學運算