數論中有哪些形式簡單卻難以證明的問題或猜想？

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題主學習高中數學競賽的數論時，看到了一些定理或猜想。如2^n—1 中是否有無窮多個素數（這個好像沒有被證明？），3^2和2^3是僅有的差為1的正整數方冪（catalan猜想），首項與公差互素的無窮等差數列中一定有無窮多個素數（狄利克雷定理）等等。所以很感興趣數論中還有沒有其它形式簡單卻要用深入一點的知識證明的定理或猜想？

謝邀。我覺得數論中的很多問題都滿足題主的條件，我個人比較偏好不涉及到乘法的數論，這裡說幾個其中比較有名的。

1. 哥德巴赫猜想

任意大於2的偶數可以表示為兩個奇素數的和。大家應該都相當了解，關於哥德巴赫猜想除了篩法，目前一直沒有重要的進展。不過值得注意的是弱哥德巴赫猜想在2013年被完全證明：

Goldbach"s weak theorem (Harald Helfgott, 2013):
$3(mathbb{P}cup{0})=mathbb{Z}_{geq2}cup{0}$

2. 素數的最小間隔

最有名的應該是孿生素數猜想了，我們猜測像3，5和11，13這樣間隔為2的素數有無窮多組。

Twin Prime Conjecture:
$liminf_{n oinfty}p_{n+1}-p_n=2$

在相當長的一段時間裡，數學家們甚至都不能證明素數的最小間隔可以與n無關。目前為止，最為重大的突破是張益唐得到的，他首次給出了一個常數的界：

Yitang Zhang, May 14, 2013:
$liminf_{n oinfty}p_{n+1}-p_n<7 imes10^7$

接下來只要把 $7 imes 10^7$ 降低到 $2$ 我們就贏了。但是這還是太難了。目前最好的結果，是陶哲軒和一群數學家在polymath上把 $7 imes10^7$ 降低到了 $246$ .

3. 素數的最大間隔

高中數學的經典例子里說，兩個素數的間隔可以任意大。那素數間隔最大是多少呢？Bertrand定理說， $n$ 和 $2n$ 之間一定存在素數，也就是 $p_{n+1}-p_nleq p_n$ ，給了我們一個平凡的上界。

素數的最大間隔的一個重要猜想是Cramér"s conjecture：

Cramér"s conjecture:
$p_{n+1}-p_ngeq clog^2p_n ext{ infinitely often if }c ext{ is small.}$ $p_{n+1}-p_ngeq Clog^2p_n ext{ finitely often if }C ext{ is large.}$

Cramér"s conjecture比孿生素數猜想困難並深刻的多。間隔為2的素數相當多，我們只要在每個區間找到一個素數就可以證明孿生素數猜想，然而大間隔的素數相當的少。並且Cramér"s conjecture的提出，是將素數考慮成隨機分布的模型得到的，因此猜想的本質是素數具有隨機性。目前關於這個猜想的進展非常緩慢：

Westzynthius, 1931: $p_{n+1}-p_ngglog p_nfrac{logloglog p_n}{loglogloglog p_n}$

Erdos, 1935: $p_{n+1}-p_ngglog p_nfrac{loglog p_n}{(logloglog p_n)^2}$

Rankin, 1938: $p_{n+1}-p_n>clog p_nfrac{loglog p_nloglogloglog p_n}{(logloglog p_n)^2}$

Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao, 2015: $p_{n+1}-p_nggfrac{log p_nloglog p_nloglogloglog p_n}{logloglog p_n}$

可以發現離最終的猜想還很遠很遠。不過通過這個例子可以學到，如果以後有人問你，什麼是數論？你可以回答，數論是 $logloglogloglogdots$

4. 等差數列

一個300年前的猜想：素數中有沒有長的等差數列？比如7, 37, 67, 97, 127, 157這樣的。藉助目前的計算機技術，人們發現的最長的素數等差數列的長度為26。那麼素數裡面有沒有任意長的等差數列呢？具體一些介紹可以參考Yifan：有哪些看起來和圖論無關的問題可以通過圖論模型來解決？

由素數定理可以知道，素數在整數中的密度是0。所以第一個自然的弱化猜想就是，自然數的正密度子集是不是有任意長的等差數列呢？

Erdos-Turan Conjecture:
$ext{if }limsup_{N oinfty}frac{vert Acap[N]vert}{N}>0, ext{ then }A ext{ contains arbitrarily long APs.}$

1953年Roth用調和分析證明了存在長度為3的等差數列的特例；1975年Szemeredi用圖論證明了這個猜想，現在我們一般稱這個定理為Szemeredi Theorem。

但是這仍然不能解決一開始提出的素數等差數列的問題！2004年，Ben Green和Terence Tao利用推廣的Szemeredi Theorem證明了存在任意長的素數等差數列。

Green-Tao Theorem (2004):
$ext{The sequence of prime numbers contains arbitrarily long arithmetic progressions.}$

證明的核心主要分兩步：第一步，將Szemeredi Theorem推廣到稀疏集上。第二步，構造稀疏集使素數在其中稠密。其中第一步的一種最新的證明思路在上面的鏈接提到了。

那麼既然3中的猜想說，素數可能會滿足某種隨機分布的性質，我們就可以問，其他的和素數密度差不多的自然數子集裡面，有沒有任意長的等差數列啊？這個問題現在仍然open，其中是否一定包含長度為3的等差數列的情況都open。

Erdos conjecture:
$ext{if }A ext{ satisfies }sum_{ain A}frac{1}{a}=infty, ext{ then }A ext{ contains arithmetic progressions of any given length.}$

可以看到Green-Tao Theorem是上述猜想的特例。

昨天回辦公室，同學告訴我在一個會議上了解的一個開腦洞的小眾猜想。

對於任何一個質數p，存在首項為p，項數為p的質數項等差數列。

比如 2 3

比如 5 11 17 23 29

首項是11的經驗證成立，後面跟著超級大的質數。

13的還沒驗證出來。

不過這很可能又是一個費馬型坑。

這個猜想可以得出 Green-Tao 定理，質數中存在任意長等差數列。

1、關於丟番圖逼近的Littlewood猜想：

對於任意的 $alpha, eta in mathbb{R}$ ， $liminf_{n o infty} n langle n alpha angle langle n eta angle = 0$ ,其中 $langle x angle$ 表示 $x$ 與最近的整數之間的距離。這個猜想至今沒有解決，最好的結果還是Einsiedler，Katok和Lindenstrauss的結果，不滿足這個極限的數對的Hausdorff維數為 $0$ 。

2、關於代數數的離散性的Lehmer猜想：把 $P(x) in mathbb{Z}[x]$ 寫成下面的乘積：

$P(x) = a_0 (x - alpha_1) cdots (x - alpha_n)$ , 則該多項式的Mahler測度被定義為：

$mathcal{M}(P(x)) = |a_0| prod_{i=1}^n max(1, |alpha_i|)$ 。存在一個常數 $mu >1$ 使得如果 $P(x)$ 有至少一個根不是 $0$ 或者單位根，則它的Mahler測度大於或等於 $mu$ 。這個猜想敘述起來有點長，但還是很容易理解的。他說的是一個整係數的多項式的集合具有某種離散型。他與Margulis提出的嵌入半徑猜想有密切的聯繫，Margulis猜想說的是給定一個rank大於等於 $2$ 的半單李群 $G$ ，存在一個固定的常數 $c>0$ ，使得對於任意的cocompact的離散子群 $Gamma$ （根據Margulis算術定理，這一定是一個算術子群），齊性空間 $G/Gamma$ （根據定義，這是一個緊緻空間）的嵌入半徑大於或等於 $c$ （即在齊性空間的任何一個點上，一個 $G$ 中半徑為 $c$ 的球都可以無重疊的嵌入）。這個猜想也很自然，體現的是一個固定的李群的不同算術結構作為一個集合具有某種剛性和離散性。Margulis嵌入半徑猜想目前沒有任何本質的進展。